Оглавление:
Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая , уравнение которой , где .
Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.
Покажем, что если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).
1. Точками разобьем отрезок на частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой . Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через . Получим ломаную длина которой равна .
2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника, с катетами и :
где . По теореме Лагранжа о конечном приращении функции , где . Поэтому
а длина всей ломаной равна
3. Длина кривой , но определению, равна
Заметим, что при также и и, следовательно, . Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда :
Таким образом, , или в сокращенной записи .
Если уравнение кривой задано в параметрической форме
где и — непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина кривой находится по формуле
Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой .
Пример №41.4.
Найти длину окружности радиуса .
Решение:
Найдем часть ее длины от точки до точки (см. рис. 183). Так как , то
Значит, . Если уравнение окружности записать в параметрическом виде , то
Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).
1. Возьмем произвольное значение и рассмотрим переменный отрезок . На нем величина становится функцией от , т. е. и .
2. Находим дифференциал функции при изменении на малую величину . Найдем , заменяя бесконечно малую дугу хордой , стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
Стало быть, .
3. Интегрируя в пределах от до , получаем .
Равенство называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
Так как , то
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника (см. рис. 185).
Полярные координаты
Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах , . Предположим, что и непрерывны на отрезке .
Если в равенствах , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую
можно задать параметрически Тогда
Поэтому
Применяя формулу (41.5), получаем
Пример №41.5.
Найти длину кардиоиды .
Решение:
Кардиоида имеет вид, изображенный на рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:
Таким образом, . Значит, .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Схемы применения определенного интеграла |
Вычисление площадей плоских фигур |
Вычисление объема тела |
Вычисление площади поверхности вращения |