Оглавление:
Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда
аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла через (см. рис. 113). Пусть . На рисунке , дуга численно равна центральному углу . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенства на , получим или .
Так как и , то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
Пусть теперь . Имеем , где . Поэтому
Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11).
Пример №17.6.
Найти .
Решение:
Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим ; тогда при и , поэтому
Дополнительный пример №17.7.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Сложная функция |
Основные элементарные функции |
Второй замечательный предел |
Эквивалентные бесконечно малые функции |