Оглавление:
Производные основных элементарных функций
Степенная функция
Дадим аргументу приращение . Функция получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем
Тогда
Находим предел составленного отношения при :
Таким образом,
Например, .
Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом (а не только натуральном).
Показательная функция
Найдем сначала производную функции . Придав аргументу
приращение находим приращение функции . Стало быть, и
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью при .
Итак, , т. е.
Теперь рассмотрим функцию . Так как , то по формуле производной сложной функции находим:
Таким образом, .
Пример №20.5.
Найти производную функции .
Решение:
Используя формулу производной сложной функции и формул}’ производной показательной функции, находим
Логарифмическая функция
Найдем сначала производную функции .
Для нее
Переходя к пределу при и воспользовавшись эквивалентностью при , получаем:
т. е. или .
Теперь рассмотрим функцию .
Так как , то
Таким образом, .
Пример №20.6.
Найти производную функции .
Решение:
Производную логарифмической функции можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является , то по формуле производной обратной функции имеем:
Тригонометрические функции
Для функции имеем:
Переходя к пределу при и воспользовавшись первым замечательным пределом , получаем
т. е. или .
Найдем производную функции , воспользовавшись формулой производной сложной функции:
т.е. .
Для нахождения производных функций и воспользуемся формулой производной частного:
т. e. .
Проделав аналогичные операции, получим формулу
Этот результат можно получить иначе:
Пример №20.7.
Найти производную функции .
Решение:
.
Обратные тригонометрические функции
Пусть . Обратная ей функция имеет вид , . На интервале верно равенство .
По правилу дифференцирования обратных функций
где перед корнем взят знак плюс, так как при . Итак, .
Аналогично получаем, что . Эту формулу можно получить проще: так как , т. е. , то .
Найдем производную функции .
Она является обратной к функции , где .
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что
Итак, .
Функции и связаны отношением
Дифференцируя это равенство, находим
т. е. .
Пример №20.8.
Найти производные функций:
Решение:
Замечание: Найдем производную степенной функции с любым показателем . В этом случае функция рассматривается для .
Можно записать . По правилу дифференцирования сложной функции находим
т. е. .
Формула остается справедливой и для , если функция существует:
при всех .
Дополнительный пример №20.9.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: