Оглавление:
Непрерывность элементарных функций
Докажем, что любая элементарная функция непрерывна всюду, где она определена. Как следует из общих свойств непрерывности (пункт 1) для этого достаточно доказать, что непрерывными в своей области определения являются основные элементарные функции.
Непрерывность экспоненты 
и натурального логарифма 
(равенства (1)). Отсюда на основании свойств 1), 2) непрерывности (пункт 1) немедленно следует непрерывность функций
Осталось доказать непрерывность тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотрим приращение функции 
в произвольной точке x:
Из неравенства (1), §4, пункт 3 следует, что 
при малых 
. поэтому, 
.
Отсюда мы заключаем, что при любом заданном 
т. е. 
. что и означает непрерывность функции sin x.
Непрерывность остальных тригонометрических функций следует из соотношений
и уже упоминавшихся общих свойств непрерывности (пункт 1).
Для доказательства непрерывности обратных тригонометрических функций достаточно сослаться на теорему о непрерывности обратной функции из предыдущего пункта.
Равномерная непрерывность функции
Определение. Функция 
называется равномерно непрерывной на некотором промежутке числовой оси (конечном, или бесконечном), если она определена на этом промежутке и для любого положительного числа 
найдется положительное число 
, обладающее тем свойством, что при всех 
из данного промежутка, удовлетворяющих неравенству
для соответствующих значений функции выполняется неравенство
Покажем что равномерная непрерывность является более, сильным свойством функции, чем ее непрерывность на промежутке. Действительно, если функция равномерно непрерывна па некотором промежутке, то, зафиксировав произвольную точку 
, этого промежутка, мы получим, что для любого отыщется такое, что 
как только 
, что и означает непрерывность функции на данном промежутке. Убедимся теперь на примере в том. что из непрерывности функции на промежутке еще не следует, вообще говоря, равномерная непрерывность.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны:
