Оглавление:
Экстремальные свойства квадратичной формы
- Экстремальное свойство вторичной формы. рассматривать Принимает любую дифференцируемую функцию / определяется Гладкая поверхность S (см. Определение гладкой поверхности) Как описано в главе 5 части 2 Основ математического анализа). мы Скажем, точка x0 на поверхности S является стационарной точкой Производная функции / с функцией / в любом направлении в точке xq
- Ноль поверхности S равен нулю. В частности, экстремальные ценности Функция / — это точка покоя. Значение функции / (xo) в точке покоя xq называется Стабильное значение. Иногда функция / точка покоя xq Назовите это критической точкой, количество / (xq) -критический Значение.
В этом пункте мы рассмотрим проблему статического В частности, экстремумы квадратичной формы B (x, x) Людмила Фирмаль
Соединиться со сферой единичного радиуса в евклидовом пространстве Y Эти значения и собственные значения самосопряженного оператора ra A, тем самым симметричная билинейная форма B (x, y), Полярная квадратичная форма B (x, x) B (x, y) = (Ax, y). Г. 54) Кроме того, сфера V блока называется набором из них Вектор x∈V, удовлетворяющий уравнению (X, x) = 1 или || x || = 1. G.55)
Используйте предыдущий вывод, чтобы упростить аргумент Следующий пункт об уменьшении от квадратичной формы до суммы квадратов. Итак, пусть B (x, x) — квадратичная форма, а B (x, y) — полюс. Билинейная форма этой формы, A является самосопряженным оператором Связан с B (x, y) отношением G.54. Согласно теореме 7.8 он состоит из ортонормированного базиса {e ^}.
Вектор оператора A квадратичной формы B (x, x) имеет вид как B (x, x) =? > & G. 56) к = 1 Где & — координата вектора x базиса {e ^}, а A / — собственное значение Оператор А. Я согласен нумеровать эти уникальные ценности. Нисходящее значение: A: ^ A2 ^ … ^ Ap. Г. 57) В выбранной основе, Уравнение G.55), в координатах вектора х, уравнение к = л Докажем следующую теорему.
Теорема 7.10. Устойчивое значение в квадратичной форме We B (x, x) единичной сферы G.55 равно собственному значению Xk оператор А. Эти устойчивые значения достигнуты. В частности, единичный собственный вектор e & оператора A Доказательство. Я говорю об устойчивых ценностях Функция B (x, x) при условии (x, x) = 1, т.е. об условии.
- Вы можете использовать экстремумы и методы этой функции. Неопределенный множитель Лагранжа (см. «Основы математики») й анализ «Часть I, 2-й абзац, глава 5 гл. 15). Функция B (х, х) Исходя из этого с использованием уравнения G.56) {e ^}, функция Реглана Ms F (?] _ 、 ^ 25 ••• ?? pM, уравнение связи (См. G.58). получить * = EA ^ -A ^ Y-lV G-59) k = 1 \ k = 1)
Где A — неопределенный множитель Лагранжа. Напомним, что G.59) A выбран в условиях G.58) связь _ = 0, k = 1, 2, …, n, G.60) Далее в точке G.58 сферы, соответствующей этим значениям A, функция Станция B (x, x) (вторичная форма B (x, x)) является стационарной Значение.
Поэтому проблема стационарного значения B (x, x) на сфере pe (x, x) = 1 сводится к изучению системы уравнений Относительно неизвестных и координат? ] ,? 2? •••? Людмила Фирмаль
N векторов х. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ Что бы вы сделали в этом случае? ] ,? 2? •••? ? n — координата вектора x. Торус B (x, x) имеет устойчивое значение. -r- = 2 (A /. -Λ)? ^, Г. 58), интересует система G.60) принимает следующую форму 2 ^ ek = 1 (Afe-AN = 0, A = 1, 2, …, позиция G.61) Система G.61) имеет решение A = A, x = (| i, | 2, …, | n). Умножьте каждое отношение (A & -A) ^ = 0 на ^ и суммируйте.
Далее, получите приобретенные отношения, * Y ^ k = i? > k = 1> Получите следующие значения для A согласно G.56): N Следовательно, m A w x = (? I,? 2, ••• ??? P) ~ Системное решение Мы G.61), A равно значению квадратичной формы B (x, x) Торус х = (? I,? 25 •• -5? NM Новая ценность Легко видеть, что решение для системы G.61): Неизвестное значение Au ^: A = A *; 6 = 0, .., & _i = 0, & = 1, a + i = 0, …, fn = 0, fe = 1, 2, …, n Очевидно, что эти решения являются собственными значениями A /
Соответствующие координаты собственного вектора e &. теорема Котел. Замечания. Мы наши A & значения являются стационарными вторичными значениями Сфера (x, x) = 1 образует B (x, x). Числа Ai и An (под G.57) По максимальным и минимальным значениям B (x, x) на сфере pe (x, x) = 1 (факт достижения этих значений установлен выше). Достаточно осторожны, чтобы проверить правильность заявления. G.56 нить) все A /, сначала Ap, затем Ai Отношения G.57) и G.58). Очевидно, что получим неравенство XnВB (x, x) A Ai.
Смотрите также:
