Оглавление:
Лемма Бореля-Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова
- Лемма-Кантелли Бореля. Закон «или 1» Колмогоров Определение последовательности событий в вероятностном пространстве (Q, st, P) позволяет сопоставлять события в каждой последовательности / 1 ‘= {(o: w <= un} 9 для бесконечного числа n A. = {Co: n} для всех, кроме конечного числа 9 Они называются верхней и нижней границами последовательности {Ap} соответственно.
- Мы показываем L * = limsup An9 At = lim inf Ap. P-> oor: -> oO Это легко увидеть A- = h U 0 P п-1 мл-1 гп> п Таким образом, A • и / 1 # принадлежат. То есть это события. Если A * = A * = A, скажите A — ограничение Ant и напишите A = lim An. Как только вы введете L-> С Индикатор 1lp> легко понять 1a> -лим sup I a <=> / f = limsup Aj, L-> «n n> oo Il = lim inf I a <=> A.-lim inf Ap> n-> OO L-> 00 I a = lim / и <=> • A = lim An. P-UOO P-> 00
Монотонные последовательности всегда имеют ограничения. Людмила Фирмаль
A \ s A2 s ••, тогда Лдf = Л «= * U An9 и A, 3 A2 s …, An 4 A * = A, a = f] An. В этих случаях из N Легко получить аксиому непрерывности PMn) t P (U An ^ и P (Ln) | P ^ П Apu Tone {Ap} cn = и Lm1L ** — PTTLp и cn = P ALL- m ^ n n-> o © / l ^ l = lim Inf Ln, n-> OO к P {lim sup Un) = lim P (Bn) t P {lim inf An) = lim P {Cn}. n-> 00 n-> oo n-> OO n-> CO Условие, что вероятность события = lim sup равна 0 или 1, равно рт-> оо последующее.
Лемма 1. (Лемма Бореля-Кантелли.) Если £ p (A ») oo h w-i) n-> oo V. t ^ n) * = 1 — iim lim P {P Lm} = 1-iim lim P (1-Pm)) = C-> oo k> oo i, m-n) n-> oo k-> oo ui «П = 1-limП (1-P (Lm)) = 1. n-> oo m «« / t Потому что линия (2) разветвляется. В результате, если … N Этот результат А. Частный случай более общего закона Н. Колмогорова «О или 1».
- Определите последовательность независимых случайных величин | 1e | r> в вероятностном пространстве (Q, $ i>, P). (Это означает, что их конечная коллекция ||, • «•» \ s независима.) Ранее мы определили алгебру, порожденную случаем A = {<•>: Количество всех событий A в форме («■, (<«>), …, | л (ω))} как a-алгебра …,% Где n9 Be борелевских множеств из пространства R определяется аналогично …
Все отношения s4> \ n. ••• — это алгебра событий. Наименьшая a-алгебра, порожденная этой алгеброй, обозначает \ …. последовательность st-i » n G1 + 1®Я + 1 … «••• Серия веков- о Нижняя алгебра. а-алгебра е) п-1 я Остаточная алгебра последовательности {£}.
Событие A ^ V также называется невязкой. Людмила Фирмаль
Это имя отражает тот факт, что все независимы Произвольное конечное число случайных величин | lt ••• »в n определяется только« бесконечно разнесенными * значениями »последовательности lu I2, … £ сходятся | £ вилки Теорема 1. (Закон «О или 1» Колмогорова.) B »••• -Независимые случайные величины. Остальные события имеют вероятность P (A) 0 или 1 требуется.
Доказательство. ^ В случае g1 As … $ t> \ x … «••• является независимым, Тогда P (AB) = P (A) P (B) все B <… все n. Таким образом, А не зависит ни от чего. То есть от себя, то есть P (AA) = P (A) = P2 (/ 1), из которого продолжается утверждение. Для результата, независимого от £ 2 …, сходятся с вероятностью 1 или расходятся с вероятностью 1. То же самое касается серии £
Смотрите также:
Решение задач по математической статистике
| Примеры решения задач по математической статистике | Различные виды сходимости случайных величин |
| Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения | Усиленный закон больших чисел |
Если вам потребуется заказать решение математической статистики вы всегда можете написать мне в whatsapp.
