Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения

Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения

• Многомерное нормальное распределение и родственные распределения Случайный вектор £ ~ говорит о том, что его особенность функции и встреча нормально (или гауссово) распределены. = (13) Где a = (ai, … a *) — вектор, а B = || yao || — неотрицательная постоянная квадратичная симметричная матрица kXA К Форма А (Bt, /) = £ ‘) • Мы а. £ -1

• Также мы говорим, что случайный вектор с характеристической функцией (13) является (a, B) -нормальным. (13) показывает, что каждый компонент имеет отличительную функцию это т * ФУО-Э 0 2. но pappappiO G> Mt g? n G1 — ч Ох * ! ) В этом вырожденном случае распределение также полезно для ссылки на * нормальное распределение. То есть обычно распределяется с М ^ -ау, D = 6. Далее удобно переместиться в центр. т) e-

В случае B 0 распределение (13) сжимается до постоянной a. Людмила Фирмаль

Поскольку все M | i конечны, моменты смешения McJ ^ также конечны, поэтому их можно вычислить, используя производную характеристической функции / = 0. д2 / ф (0) Cov (la, S0) = M? , „= -Ot ^; ~ V ‘ Следовательно, B = \ ba $ \ — ковариационная матрица (6b …. b- Далее одно из важных свойств нормального распределения состоит в том, что M £ = 0 и | j Cov (£ a, t ^ i! == линейное преобразование распределения вектора сη = but »вектор дисперсии> \ Mt ] = 0 и || Ооv (r) a> Tfy) || = CBC \

Это следует из свойства 7) в §43 -1 <О почве = е Пусть C — ортогональная матрица, такая как Миссури ~ 0. 0, и вероятность 1 T] ®, когда rfaa = 0 Если = 0 B имеет ранг, а матрица D имеет ранг kt. То есть все даа> 0. В этом случае, г] A-мерная плотность но 2d e a a = 0, то C). В этом случае, как описано выше, P {Aj + i = ••• = * = = 0} -1 » Сосредоточьтесь на меньшем размерном пространстве.

Только выражение k = o = »r + 1, k. Выберите координату k в этом подпространстве ) A = Z a = 1, r, (14) Плотность в этом подпространстве /I,…H,’)-(second) гя В этом случае нормальное распределение называется вырожденным. В общем случае r ^ k примените линейное преобразование к случайным переменным t) i, d) r флип О 2 штраф Oa = La / lA * ua «(Ou …. 9r) является независимым и (0,1) — если нормальный, мы получаем следующее * ue. \: y утверждение.

Теорема 6. Чтобы случайный вектор £ = — (5 ;, …. £ *) был нормально распределен, необходимо и достаточно иметь выражение. г la = Z guA + «a, ti-l P P Где WgafiW — это независимая нормально распределенная случайная величина с матрицей M l (l = aa9 a 9 |, ….) или параметрами (0, 1). Одним из наиболее важных свойств нормального распределения является то, что оно действует как маргинальное распределение для довольно распространенной схемы сумм независимых случайных векторов.

• Здесь следующая предельная теорема доказывается методом характеристической функции. Теорема 7. Пусть Вероятность случайных векторов распределена независимо и одинаково! d = (пь •• Ink) и MМn * = 0 и конечно Cov (на нет. = Обозначим = … + ЛА. затем Функция случайного распределения векторов = V р Слабое, математическое ожидание равно нулю, а матрица вариаций — это нормальная функция распределения мат = ii II-

M £ n = 0 и M | rtafirtp = 6a3>, в силу свойства 9), §43 Ой п 1 Поэтому любой т Отсюда утверждение, доказываемое теоремой 3 §45: Частный случай этой теоремы Теорема 8. = = (,, ,, имеет вероятность результата p = (pI … РRl) и полиномиального распределения с n тестами, а распределение вектора (—pr) / l / n слабо сходится к n.

На телевидении около т. / (/) Указывает на характеристическую функцию | A = -a. Людмила Фирмаль

Предположим, что среднее значение равно нулю, а ковариационная матрица является нормальной \ aa £ pa-pa $ \, e 6 <x & — символ Кронекера. Доказательство. Случайный вектор | сумма независимых векторов Л1 + Л2 + ••• + Лл ] a = (La1 »La2.Lol), где r) ap = 1, am результат теста равен p, Противоположность -0. Поскольку Mgz = Pp и Cov (r | ap, r) aY) = ~ Pffifiy — pfiPy *, применима теорема 7. Рождение.

Замечание 4. От слабой сходимости к предельному вектору непрерывный прямоугольник A предельного распределения P {Spe = D} -> P {£ € = D}. (16) (16) подразумевает справедливость конечной суммы таких прямоугольников и аналогичных утверждений для множеств, которые могут быть аппроксимированы этими суммами.

Другими словами, для множества A, которое можно измерить в Иордании с P {£ e <Λ} = 0, gA является границей A, а для £ „£ P {£ n <= A} — »P {£ e = A}. (17) (17) может быть доказано, что оно справедливо для любого борела А с Р {едeL}} = 0. Как и в одномерном случае, левая сторона n (17), которая является достаточно большой, обычно приблизительно равна правой стороне. Сферическое нормальное распределение.

Как упоминалось выше, распределение ξ = (ξ, ξ *) и плотность — E L 2o »^ 1 Это называется сферическим нормальным распределением. Это распределение инвариантно относительно ортогонального преобразования η = C £. То есть (0 = ft (/) ‘. Из сферического нормального распределения выведите некоторые стандартные распределения, распределение X2, которые очень важны в математической статистике и других приложениях теории вероятностей.

Сферическое распределение с c = 1 ( 18) Найти распределение случайных величин х * = б? + … Сначала найдите плотность ptk (*) случайной величины x * (она понадобится вам позже). Вероятность события x 0 Т <*. •> » где 1 (4) Переход от переменной (f *, u) к новой переменной (y, r) по выражению u = yz и = g. (22 Поскольку якобиан преобразования равен a r) == r ‘ 11 ш л оо »+1 oo v <> T dw =>

Плотность (21) следующая (21) k- + oo сходится к нормальной плотности -L e F распределение. fi, μ, r \ d Зависимая (0,1) -нормальная случайная величина. 2 грамма I4 + 0 «* -Ой, о. шоу р 0,2 p i-i «a p _ «-! 1 1 o р-1 Распределение Fp £? Есть плотность ^ И 7 2й R’A’-TGWHT- £ -7T7-. (23) P + a 2 (<7 + Это называется распределением Fisher F. В заключение (23)

Используйте тот факт, что ~ Fpq является отношением двух Независимые случайные величины с распределением x2 с p и q степенями свободы соответственно. так T — I-C-LR J J u2 v2 e 2 dudv, и> 0, о> 0 Опять же, если мы изменим переменную (22) при интегрировании.

ff £ -i .5-1 .. «± 2. i2 u2 до 2 dwrfo Х оо £ -1Г £ ± 1. — £ l! ± £ L 2! е * рфз О 2 (1 + у) 4 4 часа ^) С ч П-т- <7 «{* ‘» <*} — rDyM -‘- EG * » 1 \ tr \ 2) 0о + У) 2 Это легко вывести (23). Fpq связанные случайные величины L .. 0,2 __ 1 | + ••• bp (24) Плот имеет более симметричное распределение р р я * я 1 (1- * T • 0 <x <1. (25) (2 • 2) Функции для распределений x2, student и y сведены в таблицу. в

Смотрите также:

Решение задач по математической статистике

Формула обращения	Лемма Бореля-Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова
Предельные теоремы для характеристических функций	Различные виды сходимости случайных величин

Если вам потребуется заказать решение математической статистики вы всегда можете написать мне в whatsapp.