Предельные теоремы для характеристических функций

Предельные теоремы для характеристических функций

• Теорема об ограничении характеристической функции Предположим, что существует случайный вектор | | = (| | »имеет функцию распределения i ^ … … Xk) -F (x \, Xk). Используйте эту функцию для определения одномерной функции распределения Fi (x). Показывает множество разрывных точек F \ a (x) по Da.

• Как вы знаете, Da счетный. Множество D = D, U ••• U Dk только счетно. Поскольку F (jc, …, xk) имеет ha = 0 и A = (A ,, …, hk), если xa & D> не существует, все точки x = (x1, … Это непрерывно. 0 a = 1, …, k) -AL | … L * Z7 * D ha = ya-X a, непрерывный для всех аргументов ha> Определение последовательности * Fn (x) слабо сходится к F (x), Fa (x) ^ F (x).

(8) если Fn () -> — F (x) в каждой последующей точке функции ограничения. Людмила Фирмаль

Если Fn (x) — функция распределения, F (x) — функция распределения, то £ ится слабо сходится к Fn (x) F F (x), что может указывать на то, что она сходится к I. Распространение. В частности, из слабой сходимости следует произвольный прямоугольник {ξ €} с непрерывностью A краевого распределения. Если £ 1 сходится к £ в распределении, это означает, что распределения ^ и J близки друг к другу.

Например, если k = 1, £ i = 1 / l, |, нецелесообразно требовать сходимости в каждой точке (8). = 0 / cn (x) => / h (), «o FiJ0) t * Fi (0}, в Времена ^ и ^ близки друг к другу. Легко доказать, что сходимость F, F (x) подчиняется Fn (x) = ^ f (x) и непрерывности F (x) во всех точках. Одно из наиболее важных свойств характеристической функции содержится в следующей предельной теореме:

Пусть Fn (x) и F (x) — функции распределения и соответствующие характеристические функции, соответствующие MO »/ (/). Теорема 2. (Прямая предельная теорема.) Для Fn (x) => F (x) t, fn (t) -> f (t) / <= # * в каждой точке. Теорема 3. (Обратная предельная теорема) Если fn (t) сходится к непрерывной по нулю функции f (t) во всех точках t∈Rk, то Fn (x) = $ F (x) и f (t \ Характеристическая функция F (x).

• Доказательства этих теорем можно получить из следующих двух лемм теоремы Хелли. Лемма. Если D всюду плотно ** и Fn (x) — + F (x) — все x из D, то Fn (x) = $ F (x). Доказательство. Для всех ха ^ уа или ха <уа напиши х ^ у, х <у. Пусть соответствующая точка x является непрерывной точкой F £ x) t. X , x «g D, x! 0 ° CO 1 J А л Давайте выберем е> 0.

Выберите очень маленькое разбиение Δ для любого x∈A. Я * M- & (*) 1 <» ) (Это можно сделать для равномерной непрерывности функции g (x) на A). тогда I \ g (x) dFn (x) -J g (x) dF (x) I <Кgt dFn- \ StdF U I I L A Д д <2e + Λ * • £ | P {! „<= Дц} -P {£ e yes} I, Где Lm — количество прямоугольников в разделе. Последнее слагаемое можно сделать сколь угодно малым, например, η- * оо (10).

Разделить D на ряды Непрерывный многоугольник да в центре ха и поло Для x e Aa нажмите ge () = g (* a). Людмила Фирмаль

Доказать (9) через 1-е (F (A) Начать случайный вектор £ с функцией Распределение ^ (х)). И поскольку __n ^ существует для Fn (D) ^ 1-2e, ^ n (D) <2e. Кроме того, (9) является (10) и Я \ gdFn- + \ Рк рк я я а я я IL I I L U D Доказательство теоремы 2. По второй теореме Хелли Fn (x) ^ F (x) означает fn (/) = ^ e ^^^ dF ^. Я ~ * F (i) === \ ei (t’x) dF в каждой точке / e Rk. Нет — **

Трудно доказать, что сходимость равномерна на ограниченном множестве t. Доказательство теоремы 3. Первая теорема Хелли позволяет выбрать подпоследовательность из Fn (*). + Fnn (x) = ^ F * (x). Нам нужно доказать, что это функция распределения. Это вытекает из неравенства ПфлСак *. ….. б}> X l X l 1 1 C \ / (0 A-X 2V) ‘-X с * \ X , (Р) > 1 Особенно, когда mx = 2 PdlaK *. а = 1 ….. т » -L- J … \ f (l) dt-1. (12) -Я

Докажите это (II). а = 1, У нас есть т т т х 1 > 2 хх Уровень J-J-a-1 -t -I-x футов 2 * 1 * После этого оно становится (11). По предположению, f (t) непрерывен в нуле, поэтому, если e> 0, 0 n0 XX XX $ ••• $ / (0L <2 * -2L хх -t -I (§ 30 Теорема 3 об измеряемой сходимости). тогда А- $ / p (/) -t -I > 1 дт Если n> n0 и (12) P {| l „| F. Предположим, что Fn> F. Тогда есть две подпоследовательности rA ‘=> F * и Fn * => F * . Поскольку 110 является гипотезой теоремы, прямой предельной теоремы и fn * — + f ** 9, то / * = / ** = / Проверенная.

Смотрите также:

Решение задач по математической статистике

Определение и простейшие свойства	Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения
Формула обращения	Лемма Бореля-Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова

Если вам потребуется заказать решение математической статистики вы всегда можете написать мне в whatsapp.