Оглавление:
Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы
- Метод регуляризации для нахождения нормалей Линейное системное решение Вернемся к общей линейной системе m снова. Уравнение с n неизвестными вида C.1). Кратко опишите эту систему 17) в матричном формате AH = B. D.26) В этих обозначениях символ A является матрицей a = \ (iij \ (R = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n), символы X и B обозначают столбцы Цы (или вектор) вида X = запад B = час.
- Первый определяется, а второй устанавливается. Значение элемента матрицы A равно Кроме того, есть только около 18 членов Б свободных столбцов. к Когда естественно говорить только о желаемом приближении Колонка X. На основании формы, изложенной в предыдущей главе.
Алгоритм Лэя Крамера для вычисления последовательности решений X в этом случае. Людмила Фирмаль
Чай может привести к большим ошибкам и потерять полезность Смысл 19). В этом разделе А.Н. Tikono У алгоритма поиска так называемых алгоритмов Строго (то есть ближе всего к происхождению) Соответствует точности установки элементов матрицы A, Колонка B 20).
Введение так называемого сферического стандарта колонны 17) Обратитесь к уравнению C.6) в предыдущей главе. 18) Такая ситуация возникает при получении этих значений Когда требуется округление из физических измерений или в ходе расчетов Значения до определенного символа показаны.
19) Это особенно верно в случае так называемых «плохих условий» Матрица («небольшое» изменение базового минорного элемента матрицы) Внесите «большие» изменения в элементы обратной матрицы). 20) См. Тихонов А.Н. «Неуместные задачи с линейной алгеброй и Чистый путь для их решения «//
Доклад Академии наук СССР. 1965. Т. 163, нет. 3. С. 591-594. C B и X и матрица A, установите их равными \ \ \ EE 4-D-27) r = 1 j = 1 Обратите внимание, что нормы столбцов B и X определены как обычно Векторная норма-пространство элементов Es и Ep соответственно. Норма матрицы A соответствует норме n-мерного столбца X в следующих точках:
Норма m-мерного столбца AX равна (Матрица A к столбцу X, условие 21 выполнено) \ AX \ ^ P |||| X ||. D.28) Вместо точных значений матричных элементов A = \ ctij \ и правый столбец B = \ bij \ Значения A = || a ^ ||, B = \ bij \. Матрица A (столбец B) называется S-приближением матрицы. Для неравенства A (столбец B) \ A-A \ = \ \ B-B \ = \ , D.29)
Нормальное решение совместной системы называется D.26) решение X ° = X * 2 о Норма 11-X 1 | самая маленькая 21) Фактически, используя определение матричного произведения по столбцам, Соотношение D.27) и неравенство Коши-Бняковского для евклидовых элементов Пространство En Dova, у нас есть \ AX \ f = E Е Е E4 ? -E r = 1 j = 1 J = 1 В норме || X || Все решения X этой системы.
- Пожалуйста, обратите внимание Объединенная система D.26) (включая неопределенности). Это единственное нормальное решение. Вводит следующую функцию для n переменных xi. x 2, …, xn или один ряд X = Fa (xu …, xn, A, B) = Fa (X, A, B) = \ AX-B \ 2 + a \ X \ 2, D.30) В зависимости от параметров это зависит от элементов матрицы A и столбца B.
Это также зависит от некоторых числовых параметров. Подробно Запись для этой функции выглядит следующим образом: Fa (X, A, B) = ^ Е г = 1 D.300 Фактически, Fa (X, A, B) является функцией элементов X ev Клин Ep для n-мерного пространства столба. Этот вид функциональности, Аргумент является элементом линейного пространства Вызванное состояние, функция 22).
Вы можете легко проверить для фиксированного> 0. Людмила Фирмаль
Неотрицательный функционал D.30 ‘) достигает минимума Одно значение (во всем пространстве En) в одной точке Ну? Xa = … Space En Фактически, функция D.30 дважды дифференцируется, чтобы получить ‘). k = I J 1 | 0 для k f I = 2 г = 1 Таким образом, вторая производная функции Fa имеет вид | ikO.ii + а k = li = l =? ик = + a ^ (dxky к = 1 2).
Функции будут систематически изучаться в следующей главе. Это уравнение оценивается d2Fa ^ a ^ 2 ^ = i (dxkJ, т.е. Функция Fa строго выпуклая вниз. также Fa —Y + oo для || X || = \ / Y ^ k = i x \ ~ ^ ° o -Так очевидно В результате Фа имеет уникальную минимальную точку. Маха 23). Как найти минимальное значение функции формы D.30) Хорошо спроектировано 24).
Сократите задачу, доказав следующую основную теорему Приближенный поиск простых решений системы D.26) Найдите этот элемент Xa = Достичь на нем Функциональный минимум D.30). Теорема А. Н. Чихонова. Давайте посмотрим на матрицу A и столбец B Соответствовать требованиям для обеспечения совместимости системы D.26), X ° =
Обычным решением для этой системы является A 8 приближений матриц A и B-8 приближений столбца B, e {8) И (8) является возрастающей функцией от 8 и стремится к нулю 8-> 0 + 0, например 82 0, Положительное число So = So (r, || ^ ° ||) 8 Если 0 + 0. (Из д.41) Достаточно маленький S, множество точек Xa в пространстве En {Xa} Оно ограничено.
Теперь нетрудно доказать теорему от противного. вероятно Предположим, что для некоторого m> 0 существует последовательность 5n-> ¦. -Y 0 + 0 и соответствующая последовательность чисел {an}, Условия создания —LY-X ^ an ^ a {8n), D.31 *) Для всех чисел n \ X — X ° || ^ r0. D.42) Множество {Xa} ограничено теоремой.
Больцано Вейерштрасс с последовательностью {Hap} можно различить в порядке убывания Текущая подпоследовательность. Чтобы не менять нотацию, Предположим, что вся последовательность {Hap} сходится к некоторой Ряд X ° = Т.е. \ Xap-X ° \ — + 0 n о Пожалуйста, проверьте -AX 11-> • n как 0-> • oo. D.43) На самом деле, используя неравенства треугольника, оценка D.28), D.29), D.36) и D.40) и отношения D.31 *).
Ха -ah ° \ —VA \ + \ VA-AX ° \ C5n <: 5n (\ Xa-1 | + C) + + l / apEn) C + nll ^ 0 !! 2 ^ 0 для n ^ oo. Из неравенства D.43), AX ° = AX °, то есть предел Элемент X ° является решением системы D.26). Относительная сила D.41) не равенство || X ° || ^ || ^ ° || — Нормальное решение деления X ° обратное неравенство | || X ° || ^ || X0 ||, тогда || X0 || = || X ° || Чит к неравенству D.42). Это действительно для любого числа n. Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Смотрите также:
| Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы | Определение линейного оператора |
| Ортонормированный базис и его свойства | Действия над линейным операторам. Пространство линейных операторов |
