Оглавление:
Модифицированный симплексный метод
- Модифицированный симплекс метод Другим методом часто является симплекс-метод (алгоритм), Изменилась форма. Чтобы установить эту форму Нужно глубоко проанализировать нормальную версию симплекса Метод. Такой анализ является основой для перехода от Еще одно эффективное базовое решение Разложение каждого вектора Л / не входит в основу Это базовый вектор.
- С этими расширениями, 1) вы можете рассчитать. Определите, к какому вектору следует разница Δ / = Ζ / -ci9 Реализация на основе возможных выполнимых решений, или Покажите его оптимальность, определяется 2) Минимальное симплексное отношение, вектор, полученный из базы. 3) Преобразовать симплекс таблицы по полной формуле.
Исключение для ведущего элемента, выбранного в пункте 2 Получите новое действующее базовое решение. Людмила Фирмаль
Дайте стандартную задачу линейного программирования Z = CX-> минимум; AX = L0; X> 0 и его допуск известен Базовые решения Л51, As%, …, Л5 / п. Сформировать матрицу Лб = (Л51, Л5§, ..-, Л $ ш). Тогда AbX = Ao, X> 0. Отсюда X = AT1 Ao. (1) Если X, — (xifj * 2 //, …, Xmf) является вектором A / на основе этого, Χ, -Αβ-%. (2) подсчитывать т — я Δ, = Ζ, -cf = Y] cS (Xif-с, = CcXj-Cj = сБАbЛ / -ch (3) Для всех Δ, — <0, процесс расчета завершен.
Необходимая информация ясна из уравнений (1), (2) и (3). Из одного действительного базового решения Кроме того, он может получить за каждую известную базу Матрица Ajxt является Условие задач в виде вектора (Лб) и матрицы A и вектора Ло C. Этот факт лежит в основе модифицированного симплекса Алгоритм. Симплекс-метод и его основные отличия Если измененная версия является первой Все конвертируется по формуле, чтобы полностью исключить.
Симплекс таблица, второй случай с той же формулой Только элементы обратной матрицы Lb «1» конвертируются. В связи с этим модифицированный симплекс-метод Если η> 3 м, объем хранимой информации будет уменьшаться и уменьшаться Расчет суммы. По этой причине модифицированный метод Часто используется для решения компьютерных проблем.
Пусть X неоптимальное решение. Стандарт Лб = (Л51 ・ ЛЧ1, .-., Л $ / ._рЛлЛ * г + 1 ASn) новый База bb = (5151, cas s) Заменить базисный вектор A / = A & r на вектор A ^. ясно Есть следующие отношения. (1 0 … 0 \ Ох … ох O 0 … 1 / ‘ Lb Ab == ** b hLb ^ ・ ・ h ** sr_i ** ft ** sr i | f ・ ・ ・> AsmJ = Ί0 … хх … 0 ^ 0 1 … * 2fe. = 1 0 0 … xsk … 0 I ‘(5) ^ 0 0 Xmk … 1> Вводим обозначения ? — «), Lb — ‘= pH), Тогда гтс. Может быть получен из dij с помощью полного выражения.
Исключение: <71 & ^ T1 — m ^ * ί * (‘= £’). (* = 1,2, …, м); (/ = s <); (6) dT1 αη = g1 «(‘=’); (/ = *); (<= B 2, …, / π). Вы можете проверить правильность этих выражений следующими способами: Проверка эквивалентности A ^ xAb = / m. v Процесс расчета в модифицированном симплексе Этот метод выполняется следующим образом: Во-первых, оригинальное задание, Замените написанное в стандартном формате на эквивалентное.
«+ Fe + i- + max; (7) Χι V aifxi ai (v = 1,2, …, m) \ / -> (8) η £ CfXi + Xn + k + \ = 0, jc /> 0; / = lf 2, …, η (0 <m- £ </ π), (9) Где m-fe — количество базисных переменных g по коэффициентам. B 1 включен в основные ограничения задачи, не включен Добавлены целевые функции. xy + / q-1 — вспомогательный Переменные без знака, такие как η xy + l + 1 = -2 = — £ eft. / = ι Как обычный симплекс-метод, Модифицированный процесс расчета известен и действителен.
Натуральный или частично искусственный основной раствор, Или полностью искусственная единица базы. Замечания. Основой модифицированного симплекс-метода является Получить только вектор единичного столбца матрицы A этой задачи, Это соответствует коэффициенту, равному нулю на цели.
Продолжить с Существование между ограничениями эквивалентной задачи уравнений (7) — (9) £ Y / + * „+ * +! = 0 / «1 В связи с тем, что основой первого работоспособного решения может быть Полностью или частично искусственные, модифицированные расчеты Симплексную процедуру можно разделить на два этапа. Мы предполагаем это Этап 1 определяет приемлемое базовое решение исходной задачи.
N-й этап — лучшее решение той же проблемы. Бесконечная природа целевой функции установлена. Это удобно ввести в ограничение задачи (7) — (9). Дополнительные условия L $] Ят + г. / * / + Xm + / C-2 = CLm + 2f ( Где flm + 2. / = -Σots (j = 2. 2, …, n), am + 2 = -S ^ (i = U 2, …, / n). Где J — номер строки (выражение Задача) Требует введения искусственных переменных, а € — Подпишите, что элемент принадлежит множеству Лу.
Установите Ci = am + \ ti и естественно Базовые переменные xSl9 xSi, xSm_fe включены в первый t-k Уравнение ограничения задачи (в противном случае изменить Уравнение нумерации). Тогда о первоначальной задаче Вы можете Напишите следующее расширение: χ „+ * -μ-> max; (11) xSi + ΣιΜ ^ Οί, (ί-1, 2, …, m-k); (12) Xn-m + k + t + Σ <*> TsCH = «αι> (‘= m-k + 1, …, / l); (13) η xn + k + i + £ arn + \ t jXf = 0; (14) / — ■ η Xn + k + 2 + J] flrn + 2. / * / = β / η + 2; (15) Xf> 0 (/ = 1, 2, …, П + k). (16)
Чтобы установить знак значения, которое принимает переменная м Добавьте уравнения (13) и (15):] £ Xn-m + ft + t + * # v + 4-2 = 0 или К £ Xn-I + Xn + k + 2 = 0 ί = 1 Неотрицательное условие xn + i (ί = 1,2 k) Его Xn + k + 2 <0. Таким образом, переменные Xn + k + \ и Xn + k + b Там нет никаких ограничений на знаки. Переменная (i = 1, 2, …, k) Это искусственная база. У нас есть они Базовый серийный номер варьируется от t-k + l до / l.
- Другими словами, это xSi (i = m-ft + 1 m). Найти лучшее решение для задачи (11) — (16). Где x „+ i = 0 (1 = 1/2, …, k). Решение оптимально для исходной задачи и minZ = = -Max Xn + fe + ι. __ Построить следующую матрицу A системы в соответствии с уравнением. Ограничения (12) — (15): 1 гил … кл \ к \ ar \ … Q-rk CLm . Q * mk Гм + 1, 1- | м ^ 2, я Fe фут • ・ ・ CL \ n • ・ ・ & rn • — ^ т •. , flm_j_it •. # M-f2.
Сравнение матрицы A и соответствующей симплексной таблицы (Строка i = 1, 2 m + 2 и столбец / = 1, 2 n + k) 9 Вы можете видеть, что они совпадают, за исключением двух Последняя строка, которая отличается только на другой стороне Войти. Далее удобно показать: Столбец матрицы L.
На первом этапе расчета после изменения Процедура расчета для выбора вектора L * Людмила Фирмаль
Основа, использовать / i + 2 строки матрицы A, и после вывода Искусственный векторный базис Λ ++ (/ = 1, 2, …, k) — (m + + 1) Вторая строка. Первое основание для приемлемого решения задачи (11) — (16) Состоит из единичных векторов (A &% 9 ^ Sil …, ^ sm_fei Anj ^ \ y …, An + k9 Art + k + it An + k + v === «6. Поэтому матрица / Обратная матрица базисных единиц Единица заказа составляет м + 2. 64 м , / I + 1 м + 2 11 0 … 0 0 1 … 0 0 0 … 0 6ό … o 0 0 … 1 0 0 … 0 | 0 0 … 0 οοι 0 0 0 0 о «оо 0 0 1 0 0 1 Пусть Uif — элемент матрицы ί /, а Ut — его i-я строка.
Поместите всю информацию в следующую таблицу (Таблица 1). Дальнейшие расчеты выполняются в следующем порядке: Этап. Шаг 1. Если * / c-t + 2 <0, рассчитать критерий Расчетное Δ) =: Um + 2Aj (j = 1, 2, …, η) первая ступень Перейти на второй этап. Если Xn + m + b = 0, двигайтесь первым Шаг второй стадии. Шаг 2. Если все Δ, -> 0, переменная xn + k +? Это было достигнуто Его максимально возможное значение.
В этом случае оригинал Задача противоречива. Кроме этого (не все Определяет вектор, который вводится в (неотрицательный) базис. Таблица 1 номер Ι (Ряд 1 2 г L —ι T т + 1 м + 2 основа \ Ан + К Ан + б + 2 я значение Базисная переменная χ * ββι xl = ar xn + k— \ = * ° m— \ xn + k = am x # i + fe +? = утра + 2 Матрица U Инверсионная база 1 0 … 0 … 0 0 0 1 … 0 … 0 0 0 0 … 1 … 0 0 0 0 … 0 … 1 0 0 0 … 0 … 0 1 0 0 … 0 … 0 0 0 0 … 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 1 координировать Вектор.
Свинец -1 На основании оснований] х \ к x2k Xrk Шляпа — 1, * | m * Vt k 1 Рассчитаем координаты вектора L *, введенного на шаге 3. Основываясь на этом: Xik = UiA * (i = 1, 2 t + 2) и Определите вектор L /, полученный из основания. Мин ^ = Х (Xik> 0) * ‘* *’ * Шаг 4. Определите новое эффективное базовое решение, Элементы соответствующей матрицы U с полными выражениями Исключение: xn = xh-m ^ — * ik UVg), х xi = -, i = r. xrk Щ = Щ — p-Xik (iΦr), рк (18)
Затем вернитесь к шагу 1 первого этапа. процедура (1) — (4) повторяется до обнаружения Отсутствие работоспособного решения исходной проблемы или ценности Xn + k + 2 не равно нулю. В последнем случае Перейдите ко второму этапу. Замечания. В процессе преобразования таблицы, что (n + k + 1) и (N + k + 2) -й столбец не изменяется.
Этап II. В настоящее время chl + fc-2 = 0, то есть все искусственные Переменный. Шаг 1. Рассчитайте критерии второго этапа. Расчет: Δ, ‘1 = Um + \ Af (/ =!’, 2, …, / ι). Для всех Δ «> O, Я нашел лучшее решение для исходной проблемы Min Ζ = -max xn + t + \ Если хотя бы одно из чисел Δ является отрицательным, Выберите вектор Ak, введенный в базу: τη \ ηΔΐι = Δ [<0.
Рассчитаем координаты вектора D *, введенного на шаге 2. Основы: Xik = UiAk (i = 1, 2, …, m + 2). Для всех Xik <0, целевая функция исходной задачи Оно ограничено. В противном случае выберите вектор Получено из основ: Минимум л ^ фл. Шаг Z. Используйте формулы (17) и (18), чтобы определить новый допуск Матричная задача U $ и базовое решение для элементов Перейти к шагу 1. Шаги (1) — (3) повторяются до оптимального.
Либо решение установить неограниченную функцию цели. Замечания 1. Ешьте К = 0, р. E. есть естественная основа Приемлемое решение исходной задачи, тогда расчет начинается со второго этапа. В случае замечания 2 Адаче нужно найти лучшее решение Если поддержка известна, матрица должна соответствовать.
Предварительно составленные из базисных векторов в соответствии с общими правилами изображений » Нажмите (найдите обратную матрицу) и продолжите вычисление со второго Этап. Пример. Решите проблему с помощью модифицированного симплекс-метода. Ζ = -2χχ + x2-xs- * min, *, -x2 + 2 * 3 <8, 2 *, + 2×2-dg3 = 4, Используйте дополнительные переменные x4 и xb для Создавайте стандартные представления и сложные задачи. х6 и ^ «
Это искусственная переменная. x8- * max, *, -x2 + 2 * s + x4 = 8, 2dg, + 2×2- ^ xb + x6 = 4 — * 1 + * 2 + * 3- * 5 + * 7 =! ”—2 *, + d: 2 —x3 + jf8 = 0i -lg, -3 * 2 -f- * 5 + * 9 = -5, χ. > 0, / = 1, 2 7. Здесь пятое уравнение получается суммированием уравнений. (2 и 3) Стандартные задачи, которые необходимо выполнить Умножьте искусственную переменную, результат, на -1.
Напишите матрицы A и U. 1—1 2 1 0 \ / 1 0 0 0 0> 2 2 -1 0 0 1/01000 L = | −1 * 1 1 0-1 I. и = I 0 0 10 0 -2ι-οοloooic ^ —1 s 0 0 0 / \ 0 0 0 0 0 1, Заполните исходную таблицу (см. Вкладки 0, 1, 2, 3). * n + ft_j_2 = Если -5 <0, рассчитать контрольную оценку первого этапа: Δ {= It, 2I] = = -1; A * = t / m + 2J2 = -3; δ | = δ] = Δ * = 0; Минимальное Δ * == Δ * = -3, A2 Получить в основы. Кроме того, на основании этого рассчитывают координаты вектора А2 A4, A6, A7: xn = UXAV = -1; x2X = £ / 2 ^ = 2; * 3i = ^ 3 ^ 1 a ^ * 41 = *> 4 * χ / j = 1; x51 = C5L, = -3.
Вектор A7 оценивается по базису. mtafS-mliifcl. !・ ^ -. IL * A = ^ -1 я * ifΐ \ * 22 2ΧΧ32J / * 32 * 32 Модифицированная симплекс-таблица затем преобразуется следующим образом: % Выражение, которое полностью исключает ведущий элемент * 32 == ^ ‘ Для новой таблицы (1) действие повторяется: Δ {= -4, Az = 3, Δ ^ = = -3, Δ2s = * δ | = Ο, а минимум Aj = δ {= -4-► вводится в базис вектора A ^ y. • ** ‘* 6 2 * и min ζ— = — = * -m- + Вектор A ~ выводится из базиса.
Ведущий элемент Χοι = = 4. После преобразования таблицы. Получить один стол. 2, xd = 0. Первый этап расчета завершен. В начале второго этапа рассчитывается оценка. Δ} 1 = U4A} = 0, Δ2! = — ί; 4 J3- ^ Δ] 1 = ϋ4Α4-футΔ» 1- £ / 4Λ7 = 3/2, ммΔ ^ = Δ3 = -ξ- Фонд. Со дня основания мы ведем век l XS, Chl Торус А4, min_ί = JL = Здесь *! 3 = 3.После конвертации Tab. P2 с предшественником χ13 = 3
Получить таблицу. 3 в включать Лучшее решение, потому что Δ {‘= 0 Aj1- .4 ‘ 11 12 ‘ Написать Стол ^ ош * и (* минут = 0, ^ = от 3 4 » Z = — Δ? — 7 = 12 0 Последний из 3, 0, 31 «4 е ) далее Уменьшить сумму Информация, которая должна быть И магазины Вместо этого изменился метод Нормальное выражение Обратная матрица Так называемые Мультипликативный.
Давай назовем это элементарным Тип матрицы * -… 0 1 ( «) Если Л * является обратной матрицей Л, Новый базисный вектор, тогда A ^ «1 = EAGAG. Модифицированный симплекс-метод на основе Вызывается с использованием вышеуказанной формулы Модифицированный симплекс-метод для мультипликативных выражений Обратная матрица.
Смотрите также:
Решение задач по линейному программированию
| Симплексный метод с искусственным базисом | Модифицированный симплексный метод |
| Контроль при вычислениях | Понятие о двойственных задачах |
