Понятие о двойственных задачах

Понятие о двойственных задачах

• Концепция двойной задачи С каждой задачей линейного программирования вы можете: Связать другие линейные проблемы, называемые Dual. Рассматриваемые вопросы, связанные с двойственным Называется оригинал или прямой. Давайте посмотрим на пример. Двойная задача Принять вопрос в качестве первого вопроса Производственный план.

• Формулировка выглядит следующим образом: В распоряжении У каждой компании есть ресурсы Сумма, равная αϊ, ar, …, Ot-эти ресурсы Затраты на производство η видов продукции Единица известна и равна ^ (/ = 1, 2, …, n). за исключением той Кроме того, каждый критерий потребления ресурсов (о * /) Производственная единица для всех видов продукции.

Производственный план X = {x \ 9 # 2. ・ — »Xn) должны быть настроены с условиями максимизации. Людмила Фирмаль

Общая стоимость производства Ζ = Σ <7 * / (1) Цель ограничения ресурса η Σaiixi 0, / -1, 2, …, n. (3) Используя исходные данные задачи (1) — (3) Экономический вызов. Для этого Компании могут делать все вышеперечисленное. Ресурсы. В связи с этим необходимо будет установить Оптимальная цена UI U2, … «Ut, использование этих ресурсов Следующие соображения:

1) Что хочет покупатель ресурса Минимизируйте общие затраты. 2) С другой стороны Компании каждого типа ресурса не хотят поддерживать сумму, Меньше, чем в результате Использование этих ресурсов. Это иначе Если ему выгоднее организовать существующие процессы Ресурсы. С помощью приведенной выше формулировки вы можете получить:

Математическая модель Минимизировать общую стоимость всех ресурсы # —Σ оу »(4> При условиях: T YiOqyiXiu / ^ l. 2, …, ny (5) y £> 0, i = 1, 2, …, t. (6) Сравнение вопросов (1) — (3) и (4) — (6) Ниже: 1) Количество неизвестных в одном задании равно числу Другие основные ограничения; 2) матрица коэффициентов Что неизвестно об основных ограничениях любой задачи Транспонировать относительно матрицы ограничений Остальные задачи.

3) Неравенства в обоих основных ограничениях Задачи имеют противоположное значение. 4) Целевой коэффициент Функциональность одной из задач является соответствующей частью остальных Задача 5) В одной из задач целевая функция максимизируется, А с другой стороны это минимизировано. Давайте перейдем к формальному объяснению понятия двойственности. В линейном программировании.

Как первое задание Возьмите следующее: ηη Ζ {x) = Σcixt− + max; (7) Σauxi ^ ah i = 1 »2, …, / η. (8) / -ιΗ Задача называется двойной задачей (7), (8) м ί (0 = Σhell- * w! n; (9) м Σβϋ # = ^ ・ / = b 2, …, η; (10) # £> 0, 2-1, 2, …, m, (11) Другими словами, задания получаются по следующим правилам: 1) Коэффициент е \ «„ целевой функции (1) прямой задачи Свободные члены двойных основных ограничений (10)

Задача и свободное состояние основных ограничений a1, …, am (8) Коэффициент целевой функции исходной задачи (9) Двойное задание * Следовательно, количество переменных (yi …, ut) В двойной задаче равно nn основных ограничений Оригинальный выпуск, а количество основных лимитов двойное Задача равна r числу переменных в исходной задаче.

2) Матрица Из основного коэффициента ограничения двойной задачи Транспонировано относительно матрицы A Коэффициент переменной исходного основного ограничения Задача 3) Каждое основное ограничение-неравенство Σβ * / * / <α * (ί = 1 «. ・» L ) соответствует несвободному двойственному Переменная y, -> 0; 4) каждая свободная переменная x / (/ = 1, 2, …, n) T Исходная задача — это предельное равенство £ c, q = q (/ = 1, 2η) двойная задача;

• 5) исходная целевая функция (7) Для задачи максимальная и двойная функция (9). Минимум В будущем переменные подвержены ограничениям проблемы По какой-то причине признаки явно не учитываются Принятая стоимость называется бесплатной. Например, х {- Для свободных переменных напишите xf ^ 0.

Тем не менее, Проблемные ограничения учитывают признаки, принятые несколькими Значение переменной (то есть переменная Не отрицательный или только не положительный), такой Переменная называется несвободной.

Используйте пять правил строительства выше Двойное задание с дополнительными правилами Принять во внимание существование. Людмила Фирмаль

Ограничения исходной задачи 1) несвободные переменные и 2) Уравнение ограничения. Конечно, например, ограничения Формат (8): х / 0> 0 (х / 0 <0) Формат -x / 0 <0 ( / 0 <0). В этом случае правая сторона лимита (8) 0 из αίο. Согласно правилам 1), 2), 3) Соответствующая двойственная переменная yio входит в целевую функцию.

Используйте коэффициент aio9 a для основных ограничений равенства G с нулевым коэффициентом, но только для исключений voivosts Вводится коэффициент αcoefficientο / η = -1 (αίο / ο = 1). ΣazoU * -yn = ch или ° Σanjtt ‘+ yi0 = c, v ί> ι «οi * io Учитывая неотрицательный характер йо, последние два уравнения.

Замените их соответствующим неравенством: Σ (kiJUi> 0 / ・> Σaij0yi 2 *); (13) В условиях равенства η Σ 0 (| = lf2 /); (15) Со свободной переменной xt> 0 (/ = / + 1η). (16) Семь правил выше Двойственный из наиболее распространенных начальных проблем (12) — (16) Следует считать задачей минимизировать функцию м t-Σayt- + m \ n (17)

Используйте свою собственную переменную yi> 0 (i = k + \ / π); (18) Со свободной переменной м ΣacsU1> u, (/ -1.2 /); (19) В условиях неравенства м Σaqyt> cf (/=1,2,…,/); (20) В условиях равенства T Σaux, = c, (/ = / + 1η). (21) Оказывается, что прямые проблемы всегда можно рассмотреть Двойственный к этому двойному. Такая задача (12) — (16) и (17) — (21) являются двойными друг другу.

Фактически задача (17) — (21) преобразуется в формат (12) — (16). т м -ϊ = Σ (-ai) yi- * max, V {–an) yi <—c} (/ = 1, 2, …, /). / = 1 ”= 1 м Σ (-ac) Y1 = -s, (/ = / + 1η); #> 0 (t = 1,2, …, k) \ m> 0 (£ = fe + 1, …, m). Двойные переменные обозначены * / (/ = !, 2, …, η) Построен в соответствии с ранее сформулированными правилами Задача, мы получаем -C s, * / -> minχ /> 0 (/ = 1, 2 /); * / <0 (/ = + 1, …, / г); -Σfli / * /> — «ί (/ = 1,2, …, футы); L -Σfl№ = —α * (ί = фут +1 ”.. м ^) — / = 1

Полученная задача явно эквивалентна оригиналу (12) — (16). Часто нужно будет решить один Или обе задачи из пары двойных задач. Кроме того, часто Симплекс метод используется, например, Решить исходную задачу (12) — (16). Удобно для конвертации Преобразовать исходную задачу в эквивалент и иметь стандарт Ограничить.

Например, сделайте эту задачу проблемой вида ηη U = U! cfXf-> max; (22) Σ <% / * / = Ш (ί = 1, 2, …, m); (23) Xl> 0 (/ = 1, 2, …, n). (24) Сборка по общим правилам задачи (22) — (23) двойственный т т / = ΣWi-> min; (25) Σa №> ci (/ = U 2 l). (26) Задачи (22) — (24), (25) — (26) называются асимметричными Dual. Нашел любую пару двойных заданий Может быть заменен несимметричной эквивалентной парой.

Двойная задача Эта пара полезна для решения Многие теоретические и прикладные вопросы, включая методы Введите Симплекс. Проблемы, связанные с теорией двойственности: Центр линейной теории и практики Программирование. Многие эффективные на его основе Метод решения линейных задач. Такая возможность На основе пар двойных задач и их глубокой связи Лучшее решение Посмотрите на изучение этих связей.

Смотрите также:

Решение задач по линейному программированию

Контроль при вычислениях	Понятие о двойственных задачах
Модифицированный симплексный метод	Симплексный метод с искусственным базисом