Симплексный метод с искусственным базисом

Оглавление:

Симплексный метод с искусственным базисом

Простой способ с искусственным основанием Рассмотрим стандартную линейную задачу Программирование: минимизация целевой функции Z ^ CX- + мин (IJ 50 В условиях AX = Ao \ (2) X> 0, Ao> 0. (3) Анализ методики расчета симплекс-метода, Решение проблемы (1) — (3) Симплексный алгоритм такой эффективный.

Базовый раствор, соответствующий базе, состоящей из Единичный вектор. По этой причине вектор A ^ A ^ -. AP9 Система ограничений (2), которая образует матрицу A, имеет вид В них есть как минимум m единичных векторов, Из них можно построить единичную матрицу степени m.

Однако на практике базовая система матрицы A Из ограничений в задаче не всегда есть m таких единичных векторов. Людмила Фирмаль

В дальнейшем теоретическая часть метода искусственного базиса (Симплекс-метод с искусственным основанием) и общий Вывод подкрепляется конкретными действиями Выбранный пример. Пример. Минимизируйте необходимую функциональность Ζ = —2χι + x2-ha-> минимум »(4) Под ограничениями x \ — * 2 + 2×3 <8; 2xx + 2×2-Xs = 4; (5) -x \ + X2 + x2> 1; Xj> 0, / = 1, 2, 3. (6)

Используйте дополнительные переменные x4, x $ [ Ограничения на каноническую форму (5): x \ —X2 + 2×3 + X4 = 8; 2x! + 2×2-xs = 4; (7> —Xl + X2 + X3-Xb = 1- Напишите матрицу системы уравнений (7): A \ L2 Lz L4 L5 / 1—1 2 1 0 \ A = 12 2-10 0 1. \ 1 1 1 0 -1 / Эта матрица содержит один единичный вектор L4. для Два недостающих в формировании единичной матрицы порядка m = 3 Единичные векторы: A6 = (0, 1, 0) и A7 = (0, 0, 1).

Построить из Ограничение, что матрица содержит вектор AE и Αγ. Для этого во второй и третьей левой части, Уравнение из (7) вводится путем добавления 1 к коэффициенту Неотрицательные переменные Xb и x? : X1-X2 + 2×3 + x4 = 8; 2χι + 2×2-xb + xb = * \ (8) -x \ + * 2 + x3- * 5 + X7 = 1; * /> 0, / = 1, 2, …, 7 (9) Где неотрицательная переменная x & 9 x7 оценивается слева Часть приведенного выше уравнения, чтобы получить исходное уравнение.

Приемлемые базовые решения для некоторых Основа задачи состоит из единичных векторов (А4, А6, А?). Такие переменные называются искусственными или фиктивными. Эти переменные вводятся в целевую функцию для больших задач. Положительный коэффициент М с большим значением Любое конечное число по сравнению с в процессе Решение.

Как показано позже, значение значения предварительно Не модифицируйте. Такой выбор коэффициента Μ Естественно, потому что это лучшее решение в процессе строительства Должен содержать минимальные искусственные переменные задачи Значение равно нулю. В этом примере целевая функция. Вспомогательное задание Это выглядит так: Ζ ‘= —2×1 + x2-xb + Mx6 + Mxch-> минимум, (10)

Пределы (8) и (9). Задача (8) — (10) является Μ-проблемой или Расширенные задачи. Это может быть предсказано (и это отображается) Оптимальное решение исходной задачи и соответствующей задачи Л Связано определенным образом. Матрица А без потери общности Задача (1) — (3) содержит абсолютно разные единицы с m-fe> 0 Столбец вектор.

Введите левую часть (2) ограничения Единица коэффициента и искусственной переменной k * n + 2. — »Ял + ФТТ и матрица А Полученная система уравнений ограничения содержит t Вектор исходного блока Единичная матрица порядка π. Ряд А, соответствующий искусственному Переменные часто называют искусственными векторами.

Если Все базисные векторы исходного приемлемого базисного решения Искусственный и основание полностью называется Искусственный, в остальном частично искусственный. M-для- Исходный проблемный коттедж (1) — (3) можно записать в виде: Определить минимальное значение функции Z ‘= CX + M 2 b = CX- + rm (11) В условиях AX = A0; (12) X> 0, (13)

Здесь Вектор; C = (Да, c29 … 9 cP9Μ … M) \ Как насчет лучшего решения исходной проблемы (1) — (3) и соответствующая проблема L1 (11) — (13)? На этот вопрос Дайте следующую теорему к ответу Первая η компонента теоремы оптимального решения X0 = = (*?. X ° 2> … x ° n> Xn + и …. * £ + ) Λ-задача (11) — (13) вида Вектор Χο = ( ι> * ° «…» Xn), оптимальный Решить линейное программирование исходной задачи (1) — (3) Однако, если эта последняя задача является последовательной.

Доказательство: Доказательство выполняется следующим образом Напротив — для этого предположим, что есть Оптимальное решение согласованной задачи с \ ι = (x \ 9 x \ 9 — .., xi) Ограничения (2) — (3), CX \ φCXo и x \ φxt Это будет один. Где x ° j — компонент оптимального решения Задача Ho (11) — (13). Вы должны быть в курсе лучших Решить эту проблему, если y = η + 1, η + 2, …, η + k, $ = 0, т.е.

Искусственная переменная равна нулю Решение Хо не является оптимальным. конечно вещество Существует приемлемое решение X = (x \, x \, …, x \ 9 0 … 0), К Удовлетворить ограничения (12), (13) и CX < CXo, не Идеально подходит для задач (1) — (3). Продолжить с Должно быть решение Ho, которое дает меньшее значение функции Цель (1).

Полученное противоречие доказывает теорему. Людмила Фирмаль

Быть в состоянии Кроме того, докажите эквивалентность исходной задачи, Соответствующая проблема L1. Симплексный метод на искусственной основе Двухэтапный расчет для себя: начальная активация Определение основных и оптимальных решений. Сосредоточьтесь на подробных презентациях, сейчас Расширенные задачи.

В методе искусственного базиса построена задача L1 Решается симплексным алгоритмом. Также в любое время Основы включают искусственные векторы, целевые значения Функция и разность / –q является линейной О Λί. Другими словами, эти величины Одна из двух независимых частей Зависит от Λί, а другой — нет. В искусственном симплекс-методе 53

Основы расчета Z0 и Z, -ef (/ = 1, 2, …, i) Запишите в две строки для каждого /: (t + 1) -й и (t + 2) -й. Кроме того, в (m — \ — 1) -й и (/ n + 2) -й строках Ноль столбцов, каждый со свободными членами, Ζ0 и разница в коэффициентах -s, -Fill Исходная симплексная таблица в вопросе (8) — (10). Установить правила для выбора векторов для введения в базу.

T Для этого напишите разницу Zf-cj = 2хч’еч-cl. Выберите индекс, соответствующий cst = M из индекса i. Покажите их с этим9, а остальные с ίΗ. Переписать Разница Ζ / -Cj заключается в следующем: Zt-ci = ΜΣ * ί + (ΣΧΐ, ί · <* ι- * /). (А) Из (14) видно, что значение разности (ее знак) определяется. Коэффициент при М9, т.е. 2 * φ Искусственная основа симплекс стол.

Преобразовать в соответствии с той же формулой итерации, что и симплекс Алгоритм, кроме того, что вектор вводится в основу Где {m + 2) связано с наибольшим элементом строки. Посчитай из первого столбца. При решении задач линейного программирования Искусственный вектор исключен из базы в несколько этапов Введите в одном из следующих мест Нереально.

Необходимость конверсии Соответствующие столбцы редки. Например, конверсия Если вам нужно лучшее решение, вам нужен искусственный столб Двойная проблема для решения Оригинальное задание. Вероятно, в результате некоторой итерации, Искусственные векторы не исключены из фундамента.

Шоу опыта 54 Определить лучшее решение для использования На полностью искусственном основании требуется около 2 / г итераций. Преобразуйте симплексную таблицу, как описано выше. Есть следующие случаи. 1. В результате перестановки базисных векторов Последний не включает искусственные векторы.

Также все (T + 2) -й элемент строки (однако, Соответствует искусственному вектору и равен нулю. Эта таблица содержит действительные основные решения. Начальное задание (первый этап расчета завершен). Должно быть В этом случае пропустите (t + 2) -ю строку и продолжите Преобразовать симплексную таблицу в соответствии с нормальным полным выражением.

Исключительные ссылки всякий раз, когда вектор вводится в базу (T + 1) наибольшая положительная разница Линия. Процесс расчета в этом случае заканчивается, Как только у вас будет лучшее решение для исходной проблемы, Или когда вы уверены в неограниченной функции цели Наша задача 2.

Может быть найден с нулевыми итерациями (M + 2) -линейные столбцы — положительные числа, все Другие элементы в этой строке не являются положительными. В этом случае база содержит искусственный вектор, Однако расширенная задача линейной формы невозможна Удаляя любой из этих векторов, Поэтому исходная проблема не терпит Решения и их пределы противоречивы.

Процесс Расчет заканчивается здесь. 3. Возможно несколько итераций. Неположительный элемент (t + 2) -й строки в нулевом столбце Число, равное нулю. В этом случае такое вырождение Все искусственное Переменные (включая основные) равны нулю. получено Симплекс таблица должна быть преобразована по ссылке.

Каждый раз, когда вектор вводится в наибольшую базу Положительное число (t + 1) -й строки выше нуля (T + 2) элемент во втором ряду. Вам необходимо завершить процесс расчета. Если в (m + 1) -й строке больше нет положительного значения Коэффициент выше последнего нулевого элемента.

Строка Очевидно, что (m + 2) -я строка в этом случае Разница есть коэффициент разности Ζ / -cf Μ Нули, соответствующие векторам, введенным в базу, равны. Поскольку все рассматриваемые переменные неотрицательны (включая Числовые и техногенные) симплекс таблица коэффициентов, стоя На пересечении нулевого столбца и (t + 2) -ой строки.

Это не отрицательно и не увеличивается в процессе решения проблемы. Из-за особенностей метода искусственного основания, Определите наличие работоспособных решений до идентификации Неограниченная целевая функция. 55 Следующие три таблицы показывают решения проблемы. (8) — (10). В последней таблице все основные отличия не являются положительными. Поэтому лучшее решение ν / n s 0 . «31 l0pt = 1-5 *; T; ό)> minZ = -4 «・

Модифицированный симплексный метод	Симплексный метод с искусственным базисом
Понятие о двойственных задачах	Контроль при вычислениях