Оглавление:
Некоторые основные логические символы
- Особенностью математики является то, что она широко используется. Символизм, который по сути является формальным устройством Логика. Формальная или символическая логика Особый способ распознавания мыслительных структур. такой Разработанное устройство используется повсеместно. В математике много Важные моменты могут быть записаны в виде символов. запись Логическое обоснование символов сопровождает доказательства Более сжатый и простой вид.
). Пословица называется Значимые предложения Это правда или ложь? Пример 1.3 «Москва — столица России **», Петров И.И.- МГТУ ** студент, w2 + 2/2 = 1, xeR — постановка. х2-2х + + Не Y2-оператор. # Простое предложение и слова «и **,„ или **, „не **, «Если … **, вы получите более сложное утверждение. Это определяет нашу речь. В математике эти слова Это называется логическим соединителем. В формальной логике Соответствует основным логическим символам Пауза.
Формальная логика работает с утверждениями (из которых: Кстати, наша речь тоже составлена Людмила Фирмаль
1. Конкатенация rLd операторов p и q называется Заявление, которое применяется только если Оба утверждения (оба p и q) верны. Логический символ Соединение L заменяет «и» в речи. Также показывает p и d. 2. Разделение pV q операторов p и q называется Утверждение, которое ложно, только если Если оба утверждения ложны и хотя бы одно верно Из которых (p или q) верно. Разделение V логический символ В речи заменить слово «или». 3. Последствия p => q утверждений p и q называются Утверждение, которое ложно, только если р На самом деле, ад это подделка. Логический символ импликации = * Используется, чтобы показать результаты фактов. Заменить слово «если … тогда». С а 4.
Символ логической эквивалентности <$ is Утверждение p & q верно только в обоих случаях Утверждения p и q верны, или оба утверждения ложны. Этот символ заменяет слово «эквивалент» в речи. 5. Отрицание утверждения p называется заявлением -> p, true, если p равно false, false, если p равно true. Логический символ -i в речи заменяет слово «не». Сократить и уточнить запись представленных заявлений Два символа V и B, каждый из которых называется квантификатором Сообщество и присутствие. «Выражение для всех» Элемент x множества Ei уже записан в виде 6 E. Запись означает, что следующее утверждение выглядит следующим образом
- Содержит любой элемент E. , X2, …, xn € E, «любой элемент 2, …, Set Ei х „. Выражение« существует » Хотя бы один элемент множества E, … и т. Д. Запишите Зх € Е: … все, что следует за этой записью, будет выполнено Дан хотя бы один элемент множества E. Наоборот, $ x € E: … означает, что все из следующего потерпит неудачу Когда нет элемента E. Выражение «у меня есть один» E имеет только один элемент, описанный … Форма 3 \ x € E: … запись 3x \, xs, …, xpeE: … означает: Существуют такие элементы x \ x2, …, xn множества E Что … *. Введенные символы полезны, например, в следующих случаях. Определите операцию набора. так : (W € L) V (w € B)}, AR: < {x: (x € A) L (x € B)}, A \ B: & {x: (x € A) A (x $ B)},
Здесь символ <=> означает эквивалентность по определению. Связь между теорией множеств и формальной логикой достаточна Широкий. Он изучил эту связь впервые. Британский математик Джордж Булл (1815-1864), его работа Заложен фундамент для самых важных областей Современная алгебра называется булевой алгеброй. Очевидно, что добавки тесно связаны Отказ говорить, союз или крест Set-оператор разделения и присоединения Так что включите подмножество в набор -и Благодаря этой связи, можно решить с помощью теории множеств Некоторые логические задачи.
По смыслу и установить равноправные заявления. Людмила Фирмаль
Пример 1.4. Рассмотрим ряд утверждений. 1) животное невидимое в темноте, сера; 2) Соседи не любят людей, которые не могут спать. 3) Человек, который хорошо спит. 4) Соседи любят животных, которых можно увидеть в темноте. 5) Все слоны спят хорошо. 6) Люди, которые громко храпят, не спят с соседями.Эти утверждения могут быть переведены на язык теории Укажите, следует ли вводить следующие обозначения. Многие люди, которые просыпаются от соседей. -Многие люди хорошо спят; C-человек, который громко храпит; D-Многие животные видны в темноте; E- много слонов; F — это коллекция любви соседей. G-Многие люди серые. Утверждение 1) является элементом не в D, Включено в G, т. Е. 1) D C G.
Другие описания Он принимает следующую форму: 2) ACF; 3) FSU; 4) DCF; B) ERU; b) SSA По принципу возьму дополнение из множества D и F из 4) Получить дуальность FСD и подключить все Цепные высказывания ECCCACFC’DCG. Из этой цепочки (с учетом характеристик транзитивности символов Включение) E CG, то есть все слоны серы. # Рассматриваются логические символы и квантификаторы Существование и общность широко используются математиками для написания По сути, предложение воплощать свои результаты Творчество.
Эти предложения Теорема, устанавливающая свойства леммы математических объектов Их высказывания и результаты, а также различные формулы. Однако следует помнить о некоторых предложениях Все еще выразить словами. Теорема обычно состоит из задач Свойство А называется условием оценки По свойству называется заключение. Кратко теорема А B записывается в формате « A => • B, A B является достаточным условием, C требуется Состояние Далее, форма обратной теоремы B = $> A (может быть записано с использованием обратной импликации A • <= B) y, но прямая теорема еще не верна
Гарантирует справедливость обратной теоремы. Белые люди честны Эта теорема и наоборот, свойство A a B Эквивалентно, такую теорему можно записать в виде A для B. Запись соответствует следующим фразам: «В порядке А, Нужно и достаточно только для B «,» A Только для B «или» L, Vi. Эти фразы А И Б можно обменять. Противоположность утверждению А Напишите -1-А, соответствующее слову «не Au». Для символического Оператор для оператора A включает в себя квантификатор 3, V и условие P. При построении противоположной символической записи
Выписка-> квантификатор 3 заменен на V, квантификатор V заменен на 3 Условие P заменяется условием- »P. Пример 1.5 Рассмотрим утверждение 3x 6 E: P (Есть элемент x множества E со свойством P) и Построить его отрицание Если это утверждение неверно, Указанный элемент не существует, т.е. каждый x € E Свойство P не выполняется или -u (ZkheE: P) = ChkheE: -R. Где утверждение Vs∈E: P (для Каждый элемент x множества E обладает свойством Р). Если это утверждение ложно, свойство P место не является элементом указанного набора. Существует по крайней мере один элемент x e Eu, который не имеет этого Собственность или -. (Vz € E: P) = 3x e E: -P. # Доказательство предложения
Разумные рассуждения Для обоснования использования предложенного предложения Определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Пример доказательства абсолютной собственности Действительное число приведено выше (см. 1.3), а первое Взаимосвязь распределительных характеристик профсоюзной деятельности Первое пересечение (1.7) -1.4 закона де Моргана. Один из используемых методов — это Dox и Тело от противоположного. Чтобы доказать это По методу теоремы A => B предполагается, что — • £ верно. бели Вывод находится под этим предположением Условие А не выполнимо. противоречие
Теорема считается доказанной. Пример 1.6. Использование метода доказательства Напротив, обеспечить второй закон Моргана (1,7) Если это уравнение истинно, каждый элемент w € AR X € Ai V. Допущения, которые должны принадлежать Ли Б. Наоборот: χG A. B. Далее принцип двойственности (см. 1.4) w € APB, т.е. x $ AR, но это оригинал Состояние х € АПВ, доказывает эффективность Высказывание высказывание Наоборот, каждый элемент x € A U B должен принадлежать И AR, то есть x € AR, но наоборот: x Другими словами, x € APB или (x e A) L (x € B). Тогда (x e A) A Λ (χe B) и x e для AiB1, что опять-таки противоречит принятому Условие x A A U B, это доказывает обратное
Высказывание высказывание хе-хе APB <= w € AUB. В результате справедливость второго уравнения (1.7) доказана. Для завершения. # В доказательство правильных предложений Любое натуральное число n € N, иногда используется метод Математическая индукция: прямая проверка Установить некоторые справедливые предложения первое значение n (n = 1, 2, …), затем если n = true и это предположение подразумевает Если это предложение верно для n = k + 1, Все n € N считаются проверенными.
Пример 1.7. Докажите уравнение 1- <7p Сумма первых n членов геометрической последовательности В знаменателе прогрессии q f1. Уточнить, что выражение верно Если n = 1 и n = 2, предположим, что n = k также верно. Это 1-9 тогда , + & 1Ia> 1л l-q l-q (1-9) Если (1.9) представляет k + 1 = n, мы снова достигнем (1.8). Докажите правильность этого выражения.
Смотрите также:
| Подмножества | Круги Эйлера |
| Операции над множествами | Понятия отображения и функции |
