Некоторые свойства произвольных линейных пространств

Некоторые свойства произвольных линейных пространств

• Некоторые характеристики любого линейного Блуждая. Из Аксиомы 1 °) -8 °) в качестве логического результата можно: Получить серию утверждений, действительных для любого линейного n пробелов. В качестве примера приведем два утверждения.

• Теорема 2.1. В любом линейном пространстве Существует один нулевой элемент и для каждого элемента х Есть только один противоположный элемент. Доказательство. Наличие хотя бы одного нулевого элемента Подтверждено аксиомой 3 °). Первый x = = Oi, 0 = O2, x = 02, 0 = Oi, получены два уравнения Oi + O2 = Oi, O2 + Oi = O2, его левая часть (спасибо Мы на 1 °)) равны.

Предположим, у вас есть два Нулевые элементы Oi и 02 — затем, принимая аксиому 3 °. Людмила Фирмаль

Следовательно, из-за транзитивности символов «=» равно Правая часть двух последних уравнений, т.е. Oi = O2, и единственность Нулевой набор элементов. Наличие хотя бы одного элемента х Положительный элемент у подтверждается Аксиомой 4). Предположим, что 2 противоположных элемента для некоторого элемента x Поскольку Y1 и y2, x + yi = 0 и x + y2 = 0.

Но по аксиоме 3 °), 2 °), 1 °), Y1 = Y1 + 0 = Y1 + (x + y2 = (y! + X) + y2 = 0 + + y2 = y2 + 0 = y2, то есть yi = Y2, и их уникальность Элемент x противоположного элемента доказан. Теорема доказана. Теорема 2.2. В любом линейном пространстве 1) Нулевой элемент 0 равен произведению любого элемента х к действительному числу 0.

• 2) Для каждого элемента x противоположный элемент равен Сокращая этот элемент х до действительного числа -1. Доказательство. 1) х — произвольный элемент, а у — элемент Противоположность. 3 °), 4 °), 2 °), последовательно применяя аксиому 5 °), 1 °), 7 °) и 5 ​​°) и 4 °), х-0 = х-0 + 0 = х-0 + + (X + y) = (x • 0 + x) + y = (x • 0 + x • 1) + y = x @ + 1) + y = = x • 1 + y = x + y = 0, т.е. x • 0 = 0. 2) Пусть x произвольный элемент, y = (-1) x.

Используя ак- siomas 5 °), 7 °), 1 °) и уравнение x • 0 = 0 уже доказано, Уравнение x + y = x + (-1) x = 1 • x + (-1) x = [1 + (-1)] x = = 0-x = x • 0 = 0, это доказывает (по аксиоме 4 °) у противоположный элемент х. Теорема доказана. Существование и уникальность различия между любыми двумя элементами линейное пространство х и у, определенные как элементы г Удовлетворить условие z + y = x 5). (Такие элементы Всего z = x + (-1) y. )

В заключение можно доказать аксиому 1 °) -4 °) Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя	Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства
Определение линейного пространства	Базис и координаты