Оглавление:
Определение линейного пространства
- Определение линейного пространства. Set R является элементом полицейские x, y, z, … линейные любой природы (или называемые аффинными) Пробел) Если выполнены следующие три требования: I. У меня есть правило, которое использует любые два элемента х и у множество R связано с третьим элементом z Называется сумма элементов х и у, Символ z = x + y. П.
- Каждый элемент х имеет много правил Существует тождество R и действительное число Λ элемент этого набора называется произведением х. Число A обозначается символом u = Lx или u = xL. III. Эти два правила подчиняются следующим восьми правилам: Мама: 1 °) x + y = y + x (характеристики полного смещения); 2 °) (x + y) + z = x + (y + z) (общее комбинированное свойство);
3 °) Нулевой элемент 0 существует, x + 0 = x Элемент x (особая роль нулевого элемента); Людмила Фирмаль
4 °) Существует противоположный элемент для каждого элемента х что-то вроде х’х + х = 0; 5 °) 1-x = x любой элемент x (особая роль числа) Резидент 1); 6 °) A (/ ix) = (A / i) x (в сочетании с числовыми коэффициентами Свойства телят); 7 °) (A + / i) x = Ax + / xx (распределение по итогу Свойства числового фактора); 8 °) A (x + y) = Ax + Au (распределение по итогу Элемент свойства).
При введении концепции линейного пространства, Не только характер изучаемого объекта, Конкретные типы правил для формирования суммы элементов Сделайте элемент числом (важно, чтобы эти правила соответствовали 8 аксиом, сформулированных в приведенном выше определении).
Когда характер изучаемого объекта и тип образования являются правилами Произведение суммы элементов на произведение элементов d), тогда Линейное пространство называется бетоном. Вот пример конкретного линейного пространства. Пример 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов Трехмерное пространство.
Добавление этих векторов и Умножение на количество этих векторов определяется как Аналитическая геометрия Рано (сложение вектора Правило «параллелограмм». При умножении вектора на действительное число Число A, длина этого вектора умножается на | A | A> 0 не изменяется, но если A <0, ложь).
Справедливость всех аксиом 1 °) -8 °) в основном проверена (Эффективность всех аксиом, кроме аксиомы 5 °), Лена в процессе аналитической геометрии 2), справедливость аксиомы Нет сомнений). Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве С операциями, определенными для добавления векторов и умножения их Это линейное пространство по числовому значению Обозначается символом B%.
Набор одинаковых векторов на плоскостях и линиях, и Линейное пространство, показывающее соответствующий По символам ?? 2 и B \ соответственно. Пример 2. Рассмотрим все положительные множества {x} 1) Конечно, эти правила должны быть указаны, чтобы быть справедливыми Свойства Лив 1 °) -8 °) перечислены выше в виде аксиом. 2) Глава 2 «Аналитическая геометрия», § 1, с. Пожалуйста, обратитесь к 2.
Реальное число Определить сумму двух элементов х и у Установить как произведение вещественных х и у (понятно В обычном смысле в реальной теории). Электроника продукта Момент x множества {x} на вещественном числе A определяется как Положительное действительное число х на степень L Элемент множества {x} является действительным числом 1.
Противоположный (конкретный элемент х) элемент Действительное число 1 / х. Легко убедиться, что все аксиомы 1 °) -8 °) верны. в ле, аксиома 1 °) и 2 °) эффективны И реальное сочетание продуктов собственности. справедливость Аксиома Аксиома 3 °) и 4 °) являются основными уравнениями x • 1 = = x, x • 1 / x = 1 (если фактическое x> 0); аксиома 5 °) x1 = эквивалентно x; аксиома 6 °) и 7 °)
- Любой х> 0 и любой реальный Расположение отношений (xm) l = xLm, x (x + ^) = xx • xm, наконец, справедливо Аксиома осадки 8 °) положительна. Для любого действительного Λ с x и y уравнение (xy) x = = Ох Таким образом, набор {x}, определенный Добавление элементов и умножение их на число Линейное пространство.
Пример 3. Важным примером линейного пространства является Ap, элемент является упорядоченным агрегатом n произвольных действительных чисел (xi, x2, …, xn). Элемент Обозначается одним символом x в наборе. Это значит Напишите x = (xi, x2, …, xn) и одновременно вызовите вещественное Слабая xi, x2, …, xn по координате x. Nim Пространство 3).
При анализе множество An обычно называют n-мерными координатами. Людмила Фирмаль
В алгебраической интерпретации множество An Можно считать коллекцию всевозможных рядов, Из которых n вещественных чисел включены (это уже §3Ch. 1). Операция добавления элементов множества An и умножения их Реальные элементы определяют правила: (Xl x2, …, xn) + B / b 2/2, •• -, yn) = (xi + 2 / b x2 + 2/2, •• -, xn + 2 / n), A (xi, x2, …, xn) = (Axi, Al2, •• -, Aln).
Предоставляет читателям базовый тест на справедливость Дело в том, что учитываются все аксиомы 1 °) -8 °) и нулевые факторы 3) См. Главу 1 «Основы математического анализа». 14, §1, пункт 4. Устанавливаемые элементы: 0 = @, 0, …, 0) и наоборот Элемент (xi, x2, …, xn) false означает элемент (-x1, -x2, … •• -1 Xp. Пример 4.
Далее набор всех функций C [a, b] x = = x (t), определенный и непрерывный в отрезке a ^ t ^ b. опера Добавление таких функций и умножение их на действительные числа Определите обычные правила математического анализа. элементарный Аксиомы 1 °) -8 °) 4) проверены. Мы заключаем, что множество C [a, b] является линейным пространством.
Пример 5. Следующий пример линейного пространства Укажите множество {Pn (?)} Всех алгебраических многочленов степени Операция не превышает заданное натуральное число n Как и в предыдущем примере. Пожалуйста, обратите внимание на набор {Pn (?)}, Если рассматривать в сегменте a ^ t ^ 6, sub Множество линейных пространств C [a, b], рассмотренное в Как минимум 4.
Замечания 1. Уточните изученное понятие линейности Пространство, которое дает пример набора по какой-то причине Быть в линейном пространстве: а) множество всех векторов в пространстве, кроме векторов Коллинеарен с линией I (в пределах этого набора Невозможно добавить симметричный вектор относительно указанного вектора Прямо /);
б) множество всех многочленов степени, точно равных природе число n (сумма этих двух многочленов оказалась большой n) Члены низшей степени. в) множество всех многочленов, не превосходящих порядок п коэффициенты все положительные (элемент Такой набор не может быть умножен на отрицательное вещественное число Номер). Замечание 2.
Любой элемент является линейным Это пространство называется вектором. Тот факт, что Часто термин «вектор» используется в узком смысле, Не поймите меня неправильно, а наоборот, обратитесь к сложенному человеку Геометрическое представление sya позволяет понять и часто Предсказать набор действительных результатов для линейного пространства Любая природа. Замечание 3. По определению, линейный 4)
В частности, нулевой элемент пространства C [a, b] является функцией Равен нулю в сегменте a <C t <C b. Второе пространство, числа A, μ, … были взяты из набора действительных чисел Числа. Поэтому определенное пространство называется естественным Фактическое линейное пространство. С более широким подходом де может взять A, μ, … из набора комплексных чисел. В то же время Это становится концепцией сложного линейного пространства.
Смотрите также:
