Теорема о базисном миноре

Теорема о базисном миноре

• Основная второстепенная теорема. Любой (не Обязательно квадратная матрица A = K-й минор матрицы A является определяющим степень k-ro с элементами на пересечении k рядов 25) где O = @, 0, …, 0) нулевая линия. K столбцов матрицы A (конечно, k не превышает минимального значения (Из чисел m и n).

• Предположим, что хотя бы один элемент ac матрицы A отличается С нуля до Чена. И есть положительное целое число r, как это: Следующие два условия выполняются: 1) Матрица А является младший r-го порядка, кроме 0, 2) все младшие (r + 1) -й, и Высокий (если есть) равен нулю.

Числовое значение r, которое удовлетворяет требованиям 1) и 2), называется рангом. Людмила Фирмаль

Матрица А 26). Ненулевой г следующий минор Позвоните в базу майнеров (конечно же Матрица А Ненулевой кр минор). Ряды и столбцы Назовите каждого, где пересечение является основным несовершеннолетним Базовый ряд и базовый столбец. Докажем следующую основную теорему.

Теорема 1.6 (основная второстепенная теорема). Базовый ряд (ба- Жирные столбцы линейно независимы. Любая строка (любая таблица Matrix A betz) — линейная комбинация базовых рядов (Базовый столбец). Доказательство. Выполняет все аргументы в строке. Теорема 1.5, если базовый ряд линейно зависим.

Одна из этих линий представляет собой линейную комбинацию другой базы Без изменения строки и основных второстепенных значений Вычитает и извлекает указанную линейную комбинацию из этой строки Строка, состоящая полностью из нулей. Это противоречит Базовый несовершеннолетний ненулевой. Таким образом, базовая линия является линейной Самостоятельно он имеет.

• Здесь мы докажем, что любая строка матрицы A линейна Сочетание базовых показателей. Потому что есть какие-то изменения Определитель строки (или столбца) сохраняет свойства уравнения Ли, тогда вы можете принять основы, не теряя общности Несовершеннолетний находится в верхнем левом углу матрицы А.47).

Это значит Жена первого г строки и первого г столбца. Пусть j произвольное число От 1 до p, k — любое число от 1 до t. (R + 1) BC 0-12 ••• CL \ r CL \ j A.48) Арр Ардж & W ••• & кг 0> кДж 26) Ранг матрицы A, где все элементы равны нулю, по определению равен нулю.

Равно нулю Для j ^ r или k ^ r указанный определитель равен. Людмила Фирмаль

Иметь две одинаковые колонки или Две одинаковые линии. А.48) является второстепенным, если оба числа j и k превышают r Матрица А порядка (r + 1), и все такие миноры равны нулю (в Основное второстепенное определение). Следовательно, определитель A.48) равен нулю Для всех j от 1 до n и всех k от 1 до t.

Но затем разверните этот определитель в последнем столбце, показать алгебраические дополнения, не зависящие от числа j Элементы этого столбца с символами A \ j = ci, A ^ j-ci-, …, Arj = cr, Akj = CR + I, получить его C2OL2J + … + Crarj + Cr + iOLkj = 0 (Все j = 1,2, …, n).

При последнем равенстве гебраическое дополнение кр +1 = акж явно лучше Каждый из них может быть отделен от основного минорного нуля качество cr _ | _ 1. Но тогда введем обозначение \ -Cl \ — ° 2 \ -Cr Л1-, Л2-, ••. , Лг-, Sg _ | _ 1 Sg _ | _ 1 Sg _ | _ 1 akj = Xiclij + ^ 2 & 2j + … + Xrarj (все j = = 1, 2, …, n), это означает, что k-я строка является линейной Первая (основная) строка комбинации. Теорема доказана.

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Понятие обратной матрицы	Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя
Понятие линейной зависимости строк	Определение линейного пространства