Оглавление:
Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Несобственные интегралы от неотрицательных функций. In кроме того, мы будем соблюдать договор, установленный в начале предыдущего пункта. Лемма 1.Если функция/не отрицательна в полупериоде [a, b), то о сходимости неправильных интегралов^ [(x) dx Это необходимо и достаточно для всех интегралов. То есть для каждого µe [a, b) существует постоянная M0 такая, что неравенство существует для Когда это условие выполняется Доказательство. Подумайте о возможностях поскольку f> 0, функция φ increases. In факт,^ <Γ) r] ’. в случае b (см. природу интеграла в§ 28.1 8°） Где неправильный Интеграл / / (x).
Исследование сходимости неправильного интеграла начинается тогда, когда подынтегральное выражение не является отрицательным. Людмила Фирмаль
- Только если есть ограничения Mn \ {(x) yx-Hm (m|), в нем существует последний предел. Только если функция φ ограничена вершиной, то есть если выполнено условие (33.14) (см.§ 4.10 теоремы 5). поступая так、 Из леммы было доказано, что Интеграл интеграла^ [(x) DX неотрицательной функции расходов Необходимо и достаточно, чтобы функция φ (μ) (см. (33.16)) не ограничивалась вышеизложенным; но для ее увеличения Следовательно, если неправильный Интеграл / / (χ) xx неотрицателен、 Когда функция расходится, мы пишем(х) ух = ОО. С этим Контракт остается справедливым(33.15). Теорема 1 (признак сравнения).Сделайте функцию / и§неотрицательной в полуинтервале[a, b)、 И затем… 1) Интегра맧(x) если c1x сходится, то Интеграл также сходится 2) .
Если Интеграл$ / (x) xx расходится, то Интеграл расходится Индуктивный. Предположим, что полуинтервал[a, b), y(x)Φ0, X0 [Й, b) и функция Δ§неотрицательны. И затем… 1) Интеграл yy(x) xx сходится, 0cc;&; + oe, то Интеграл$ /(x) xx также сходится. 2) Интеграл§(x) xx расходится, 0&^; + oo, gpo Интеграл/ / (x)xx также расходится. В частности, если/и G эквивалентны функциям x—b. x * b (см.§ 8.2), то Интеграл\ {(x) yx и^§(x) yx В конце или в то же время ветви. Доказательство теоремы. Интегрировать. Но… Он сходится. Условия (33.17), m] 0, a m) 0 b и все XE [r)0, b) неравенства (См. раздел 8.2).Из сходимости интегралов Мост интегралов§@(х) ух. Для потребности требования Лемма сходимости интегралов, любые r] = [r)0, b) неравенства Ч от этого и неравенство (33.19).
- Из этого неравенства условие леммы достаточно для того, чтобы Интеграл сходился от неотрицательной функции, поэтому он выглядит так. Интеграл$ / (x) yx, таким образом Интеграл Первое описание теоремы доказано. 2-й логичен Первый-это equal. In в частности, Интеграл При перемещении^ 8 (x) Lx не может сходиться. По первому утверждению которое сходилось а потом уже доказывалось Теорема, Интеграл^(x) dx, также сходится. Поэтому интегралы расходятся. Я не уверен. Доказательство, конечно. От государства (33.18) условие 0 ec / r-для k, которое удовлетворяет {co, r] e [a, b), будет присутствовать и x \ .для х б、 Иначе говоря Таким образом, полученное Утверждение 1) следует непосредственно из утверждения теоремы 1.
Теперь пусть условие (33.18) выполняется для k, удовлетворяющего условию 0& = ^ + oo. Тогда m] e [a, b) существует для любого k’e(0, k) и m \ .х. Если это Б、 Или 8 (x) Hx). То есть,^(x）= 0（/（*））、x * b. Таким образом, результирующее утверждение (2) продолжается непосредственно от теоремы (1) к утверждению (2).[3 Используйте функцию утверждения 1 теоремы 1,§(x), чтобы установить сходимость интеграла§/(x). Это называется сравнением function. In в частности, если f (x) является p (x) для всех Ё [[[,,,, b), f(x) является мажоритарной функцией§(x), или y (x) является ().
Эффективность использования критериев сравнения для решения задачи сходящихся интегралов естественным образом зависит от предложения функции сравнения. Людмила Фирмаль
- Конечно, следует отметить, что неверный Интеграл типа (33.6) также применим к утверждениям, подобным теореме 1. Часто достаточно взять функцию, которая должна быть в качестве функции сравнения p (x).То есть, в случае конечного зазора [a, b) и (a, d], соответственно, функция§(x) 1 8 (x)= его Интеграл^ ^ x) y. ^ сходимость В ее результатах Отделение на 1 Уменьшите эти интегралы линейным изменением переменных Грэм рассмотрел в § 33.1).Бесконечные случаи Интервалы[a,+ cx) и (—co, b]функции сравнения берутся соответственно. P (x)= = и (x)=, Интеграл ^И^сходятся в 1 и расходятся в 1 Также, очевидно, вся форма.
Смотрите также:
| Определение несобственных интегралов. | Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. |
| Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. | Абсолютно сходящиеся интегралы. |
