Определение ряда Фурье. Постановка основных задач

Оглавление:

Определение ряда Фурье. Постановка основных задач

Определение ряда Фурье. постановка основных задач. Определение 1.Смотрите сериал И ^-+ 2 а / 1Кор $ ПХ + Б / 1 $ ’ млн (55.1） Н = 1 Она называется треугольной серией. Его частичная сумма представляет собой линейную комбинацию функций, содержащихся в системе 1) C08 X, 81PX, C08 2.Т 81P 2Х… C08 PX, 81P PX (55.2） Определение 2.Набор функций (55.2)называется тригонометрической системой. Лемма 1.Тригонометрическая система (55.2) имеет следующие характеристики: 1.Интеграл по интервалу [l, l]от произведения 2 различных включенных функций равен нулю (это свойство называется ортогональностью*) в системе (55.2), т. е. Я § 0808пхсо8тхйх= 0, ПФТ、 Я. .. Я §пппъът -AH, PFT, (55.3） Я-это я. ^ со $ NX и МХ 1х = 0, м, я,= 0, 1, 2,…; Я. .. Я-это я. 2) 5С0$2пхдх = $ 51п2пхйх-l, i = 1, 2, (55.4） л. я.

Напомним, что понятие абсолютного конвергентного интегрирования(и простого конвергентного интегрирования) было введено только для функций, определенных в определенных интервалах (a, b). Людмила Фирмаль

Происхождение термина «ортогональность» описано в разделе 58.1. § 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста сорок четыре Икссон (н—м) х] ух = Доказательство. для неотрицательных целых чисел m, n, таких как mn、 йн (н-т) х! Я «и (N + Т) Х 1 2 (n-t) [2-й 2 (I + / I) 1-й $ C082 рН УГ = Один Два л ^(1 + соѕ 2 пикселя) ух = Я. .. л 81P gphyh = Один Два Я ^(1-cos2nx) yx-l. ноль Другие 2 равенства(55.3) также были доказаны.(55.4). Теорема 1.Фото: Joshua Roberts / PA И 1 (х)= С + ^ а, со $ ПХ -bppn (55.5） Н-1 И ряд справа от этого уравнения сходится равномерно к интервалу [l, l].И затем… Я АО = §НХ)ух、 Я. .. Я-это я. ал = ^ /(х) С08 nxh, БН = ^ /(х) СС ПХ ух, Н-1, 2,-(55.6） Я. я. Доказательство. Поскольку ряд справа от уравнения (55.5)сходится равномерно на интервале[-l, l], и все его члены являются непрерывными функциями в этом интервале, его сумма Tx) непрерывна на интервале[-l, l].Сама серия может быть интегрирована в соответствии с терминами от-l до l (см.§ 36.4). Я. .. Это означает первое выражение (55.6). 55.1.

Определение рядов Фурье. Постановка основных задач Триста сорок пять В серии(55.5) cospx и cxlx (n = 1, 2,…Если умножить на термы), то результирующий ряд также сходится равномерно к интервалу [i, z] (см.§ 36.3 свойство 2). Интегрируйте эти ряды в терминах и используйте ортонормированные свойства (55.3) и равенства (55.4) тригонометрической системы、 Я-это я. $ /(x) sok pkhyh ^ ap sok2 pH ykh = yaap、 Я. .. Я-это я. $ /(х) nxhx-^ 8sh млрд & nxhx-НБН м2. Я. я. Формула (55.6) непосредственно вытекает из полученной зависимости. Ноль Заметим здесь, что интеграл (55.6) имеет смысл не только для функций, непрерывных на интервале [I, I], но и для функций, для которых, например, Интеграл полностью сходится на этом интервале.

Точка y конечного множества.1 = 0、1、2、…φο, k, и Yx0 X существует! ;.■ ■ Y * b, функция / интегрируема по Риману в любом интервале [ & , m].] и x {1/, gr-x, -. кроме того, если a =-oo, то x0 =-oo, а если b = + oo, то xk-+ oo. Числа x0, x1r и xk называются особенностями функции. б При этих предположениях Интеграл§ / | (x) / yh сходится Но… Б Это всегда имеет смысл, и Интеграл$ / (x)^сходится (см.§ 33.5). Но… Функция, при которой Интеграл абсолютного значения сходится на определенном интервале, называется абсолютной интегрируемостью на этом интервале. О (см.§ 28.1).Поэтому функция, которая может быть интегралом Римана в сегменте, абсолютно интегрируема. Если Интеграл функции/полностью сходится на интервале[-1, π], то все интегралы (55.6) также сходятся.

Это происходит потому, что они являются интегралами произведения полностью интегрируемых функций/(x) и ограниченных(синус или Косинус), и такие интегралы сходятся идеально (см. лемму 3 в§ 33.5). Ф 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста сорок шесть Определение 3.Предположим, что функция/может быть абсолютно интегрируемой на интервале [-1, π].Тригонометрический ряд (55.6), коэффициенты которого задаются уравнением (55.1), называется рядом Фурье*, или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а численные значения an и bn называются коэффициентами Фурье/. В этом случае они пишут И § 2apso ПХ-{млрд $ МН. Н 1 Частичная сумма Порядка n этого ряда обозначается 8n(x,/) или, короче говоря, 5n (x).

братите внимание, что если функция может быть интегралом Римана в определенном интервале, ее абсолютное значение также интегрируется в соответствии с Риманом. Людмила Фирмаль

Здесь мы подчеркиваем, что знак ^не является асимптотическим уравнением, а просто указывает на его соответствие. Функция соответствует своему ряду Фурье. Теорему 1 этих терминов можно перефразировать следующим образом: Равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье его суммы. Упражнение 1.Функция / интервал[-!T, ETA]делает его полностью интегрируемым、 Да. / ( * ) 〜Ту + 2 в Соз РХ + БН 5!П ПХ. Н = 1 Тогда, если функция f Четна, bn = 0, n-1, 2,…если f-нечетная функция, то an = 0, n = 0, 1, 2 2.Тригонометрический ряд ОО 2 $ W PH 7г Н = 1 Ближе к Фурье? В этом разделе вы узнаете о периодических функциях, То есть таких функциях/.

Асимптотическое разложение неполной гамма-функции.	Стремление коэффициентов Фурье к нулю.
Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра.	Интеграл Дирихле. Принцип локализации.