Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Пусть точка движется относительно некоторой системы координат Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом согласно заданным уравнениям;

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Приняв за начало радиуса-вектора движущейся точки начало данной системы координат, можно написать в соответствии с формулой (55)

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

где орты «неподвижных» координатных осей Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом постоянны как по модулю, так и по направлению.

Из курса высшей математики известно, что правила дифференцирования векторных функций аналогичны правилам дифференцирования скалярных функций. В частности, производная суммы равна сумме производных и производная произведения постоянного вектора на скалярную функцию раина произведению этого вектора на производную от скалярной функции.

Вспоминая формулу (57), будем иметь:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

С другой стороны, вектор v, как и всякий вектор, можно выразить через его проекции на координатные оси

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Сравнивая равенства (I) и (II), находим:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна производной от соответствующей координаты точки по времени.

Если проекции вектора на оси координат известны, то легко определяются и модуль и направление вектора. Модуль вектора скорости

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Его направляющие косинусы:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Аналогично определяется и ускорение точки. Из формулы (59) следует:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Отсюда находим выражения для проекций ускорения на оси координат:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от проекции ее скорости на эту ось или второй производной от соответствующей координаты точки по времени.

Модуль вектора ускорения

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Его направляющие косинусы:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Если движение точки происходит в одной плоскости, то достаточно двух уравнений Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом и Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом, и в соответствующих формулах отпадают проекции скорости и ускорения точки на ось Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом.

Пример задачи:

Движение снаряда задано уравнениями

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

(Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом— в метрах, Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом — в секундах). Определить: 1) уравнение траектории, 2) высоту Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом и дальность Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом полета, 3) скорость Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом в наивысшей точке траектории и скорость Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом в тот момент, когда снаряд упадет на землю.

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Решение:

1) для определения траектории движения снаряда исключаем время из уравнений его движения:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Траекторией снаряда служит парабола (рис. 108), определяемая уравнением

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

2) Траектория снаряда пересекает ось Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом в двух точках, для которых ордината Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом равна нулю. Подставляя это значение Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом в уравнение траектории, находим абсциссы точек пересечения:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

откуда

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Ясно, что дальность полета снаряда

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Для определения максимальной высоты Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом подъема снаряда можно было бы воспользоваться общим приемом определения максимума функции Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом, но в данном случае, ввиду симметричности кривой, искомую высоту легко найти, подставив в уравнение траектории

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

3) Проекции скорости снаряда на координатные оси определяются по формулам (60):

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Как видим, проекция скорости снаряда на ось Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом постоянна, проекция же этой скорости на ось Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом зависит от времени движения снаряда.

В наивысшей точке траектории скорость снаряда параллельна оси Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Следовательно,

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Для определения скорости Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом снаряда в момент Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом падения его на землю необходимо найти время полета снаряда. Для этого подставим в уравнение движения Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом значения Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом и Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Будем иметь:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Подставив найденное значение времени Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом полета снаряда в выражения для проекций скорости снаряда, находим:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Модуль искомой скорости снаряда

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Направление этой скорости определяется из формулы (62):

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

откуда

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Пример задачи:

Написать уравнения движения в прямоугольных координатах и определить скорость и ускорение конца Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом кривошипа Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом, вращающегося вокруг неподвижного центра Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Длина кривошипа Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Угол поворота кривошипа относительно горизонтальной оси изменяется по закону Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом.

Решение:

Возьмем систему координат Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом с началом в точке Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом. Координаты точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом в этой системе (рис. 109):

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом
Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Проекции скорости точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом на координатные оси:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Модуль скорости

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Скорость точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом по модулю постоянна. Направление скорости этой точки можно определить из формул:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Проекции ускорения точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом на координатные оси:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Модуль ускорения

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Ускорение точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом по модулю также постоянно. Оно не равно нулю, несмотря на то что скорость этой точки по модулю постоянна. Вследствие криволинейности траектории точки все время изменяется направление скорости. Направление ускорения точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом можно определить из формул (65):

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Нетрудно убедиться, что при равномерном движении точки Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом по окружности ее ускорение а направлено к центру окружности.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Скорость точки. Ее определение при задании движения точки векторным способом
Ускорение точки. Его определение при задании движения точки векторным способом + пример с решением
Определение скорости точки при задании ее движения естественным способом
Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом + пример с решением