Оглавление:
Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом
Пусть точка движется относительно некоторой системы координат согласно заданным уравнениям;
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32350.png)
Приняв за начало радиуса-вектора движущейся точки начало данной системы координат, можно написать в соответствии с формулой (55)
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32351.png)
где орты «неподвижных» координатных осей постоянны как по модулю, так и по направлению.
Из курса высшей математики известно, что правила дифференцирования векторных функций аналогичны правилам дифференцирования скалярных функций. В частности, производная суммы равна сумме производных и производная произведения постоянного вектора на скалярную функцию раина произведению этого вектора на производную от скалярной функции.
Вспоминая формулу (57), будем иметь:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32353.png)
С другой стороны, вектор v, как и всякий вектор, можно выразить через его проекции на координатные оси
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32354.png)
Сравнивая равенства (I) и (II), находим:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32355.png)
Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна производной от соответствующей координаты точки по времени.
Если проекции вектора на оси координат известны, то легко определяются и модуль и направление вектора. Модуль вектора скорости
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32356.png)
Его направляющие косинусы:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32357.png)
Аналогично определяется и ускорение точки. Из формулы (59) следует:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32358.png)
Отсюда находим выражения для проекций ускорения на оси координат:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32359.png)
Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от проекции ее скорости на эту ось или второй производной от соответствующей координаты точки по времени.
Модуль вектора ускорения
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32360.png)
Его направляющие косинусы:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32361.png)
Если движение точки происходит в одной плоскости, то достаточно двух уравнений и
, и в соответствующих формулах отпадают проекции скорости и ускорения точки на ось
.
Пример задачи:
Движение снаряда задано уравнениями
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32365.png)
(— в метрах,
— в секундах). Определить: 1) уравнение траектории, 2) высоту
и дальность
полета, 3) скорость
в наивысшей точке траектории и скорость
в тот момент, когда снаряд упадет на землю.
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32372.png)
Решение:
1) для определения траектории движения снаряда исключаем время из уравнений его движения:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32373.png)
Траекторией снаряда служит парабола (рис. 108), определяемая уравнением
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32374.png)
2) Траектория снаряда пересекает ось в двух точках, для которых ордината
равна нулю. Подставляя это значение
в уравнение траектории, находим абсциссы точек пересечения:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32377.png)
откуда
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32378.png)
Ясно, что дальность полета снаряда
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32379.png)
Для определения максимальной высоты подъема снаряда можно было бы воспользоваться общим приемом определения максимума функции
, но в данном случае, ввиду симметричности кривой, искомую высоту легко найти, подставив в уравнение траектории
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32382.png)
3) Проекции скорости снаряда на координатные оси определяются по формулам (60):
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32383.png)
Как видим, проекция скорости снаряда на ось постоянна, проекция же этой скорости на ось
зависит от времени движения снаряда.
В наивысшей точке траектории скорость снаряда параллельна оси . Следовательно,
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32384.png)
Для определения скорости снаряда в момент
падения его на землю необходимо найти время полета снаряда. Для этого подставим в уравнение движения
значения
и
. Будем иметь:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32390.png)
Подставив найденное значение времени полета снаряда в выражения для проекций скорости снаряда, находим:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32391.png)
Модуль искомой скорости снаряда
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32392.png)
Направление этой скорости определяется из формулы (62):
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32393.png)
откуда
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32394.png)
Пример задачи:
Написать уравнения движения в прямоугольных координатах и определить скорость и ускорение конца кривошипа
, вращающегося вокруг неподвижного центра
. Длина кривошипа
. Угол поворота кривошипа относительно горизонтальной оси изменяется по закону
.
Решение:
Возьмем систему координат с началом в точке
. Координаты точки
в этой системе (рис. 109):
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32401.png)
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32402.png)
Проекции скорости точки на координатные оси:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32403.png)
Модуль скорости
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32404.png)
Скорость точки по модулю постоянна. Направление скорости этой точки можно определить из формул:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32405.png)
Проекции ускорения точки на координатные оси:
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32406.png)
Модуль ускорения
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32407.png)
Ускорение точки по модулю также постоянно. Оно не равно нулю, несмотря на то что скорость этой точки по модулю постоянна. Вследствие криволинейности траектории точки все время изменяется направление скорости. Направление ускорения точки
можно определить из формул (65):
![Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-32408.png)
Нетрудно убедиться, что при равномерном движении точки по окружности ее ускорение а направлено к центру окружности.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: