Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Если движение точки задано естественным способом, то ускорение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом точки раскладывается на составляющие, направленные по так называемым естественным осям координат. Такое разложение удобно и потому, что эти составляющие характеризуют, как мы увидим дальше, разные стороны изменения вектора скорости.

Введем предварительно некоторые понятия.

Плоскость, проходящая через касательную к кривой в данной ее точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и другую, бесконечно близкую к ней, точку кривой, называется соприкасающейся плоскостью в точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом.

Ясно, что в случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех ее точек является плоскость, в которой лежит сама кривая.

Плоскость, перпендикулярная к касательной, называется нормальной плоскостью (рис.111). Любая

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

прямая, проведенная в нормальной плоскости через точку Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, будет перпендикулярна к касательной и является нормалью к кривой.

Нормаль Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью.

Естественными осями координат называется совокупность трех взаимно перпендикулярных осей, начало которых совпадает в каждый момент с положением движущейся точки Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом (рис. 111). Одна из этих осей (Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом) направлена по касательной к траектории точки в сторону положительного отсчета расстояний Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, другая (Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом) направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории и третья (Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом) направлена по бинормали так, чтобы она образовывала с первыми двумя осями правую систему координат.

Отложим по введенным координатным осям (рис. 111) единичные векторы (орты): касательной — Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, главной нормали — Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом бинормали — Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Вектор Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом ускорения разложим на составляющие по естественным осям координат. Обозначая через Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — проекцию вектора а на касательную, через Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — его проекцию на главную нормаль и через Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — его проекцию на бинормаль, можно записать, что

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом
Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Так как скорость Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом точки всегда направлена по касательной к траектории, то Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Правая часть этого равенства представляет собой, 0 вообще говоря, произведение двух переменных: Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — величины скорости (ее проекции на касательную) и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — орта касательной.

По формуле (59) для ускорения точки будем иметь:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Найдем сначала модуль производной по времени от орта касательной

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Определим для этого приращение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом орта касательной при переходе точки за промежуток времени Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом из положения Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом в положение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом (рис. 112). Проведем из точки Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом вектор Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и построим параллелограмм Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом.

Из него находим Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом Следовательно, Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способомОпределение ускорения точки при задании ее движения естественным способом.

Обозначим через Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом так называемый угол смежности, т. е. угол между направлениями касательных в точках Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом кривой.

Треугольник Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — равнобедренный, так как Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способомОпределение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Высота этого треугольника является биссектрисой угла Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и медианой стороны Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Следовательно:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

откуда

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

так как

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Подставляя найденное значение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом в равенство (III) и преобразовывая правую часть этого равенства так, чтобы получить ее в виде произведения величин, пределы которых можно вычислить, находим:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

где Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — приращение дуговой координаты Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом точки за промежуток времени Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом.

Если Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, то Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Следовательно, равенство (IV) можно переписать так:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Стоящие в правой части последнего равенства пределы легко находятся:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Как известно из курса высшей математики, предел отношения угла Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом смежности к длине Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом соответствующей ему дуги, когда длина этой дуги стремится к нулю, равен кривизне линии в данной точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом.

Кривизна Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом линии в точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом является величиной, обратной радиусу Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом кривизны в этой точке. Следовательно,

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Подставляя найденные значения соответствующих пределов в правую часть равенства (V), получим

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Для того чтобы определить направление вектора Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способомОпределение ускорения точки при задании ее движения естественным способомнайдем предельное значение угла между векторами Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом при Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Из рис. 112 видно, что

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Так как при Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом угол смежности Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом также стремится к нулю, то

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Вектор Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом лежит в плоскости параллелограмма Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом (рис. 112). В пределе, при неограниченном приближении точки Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом к точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, т. е. при Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, плоскость этого параллелограмма будет совпадать с соприкасающейся плоскостью. Следовательно, вектор Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом лежит в соприкасающейся плоскости, и, как видно из рис. 112, направлен в сторону вогнутости кривой. Кроме того, по доказанному выше он перпендикулярен к вектору Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Из всего сказанного следует, что направление вектора Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом совпадает с направлением орта Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом главной нормали к траектории в точке Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Учитывая найденное ранее (VI) значение его модуля, будем иметь:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Подставляя это значение в выражение (II), получаем

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Сравнивая равенства (I) и (VIII), находим:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

— проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численного значения ее скорости по времени;

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

— проекция ускорения точки на главную нормаль (модуль нормального ускорения) равна квадрату ее скорости, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей ее точке;

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

— проекция ускорения точки на бинормаль равна нулю.

Отсюда следует, что ускорение а точки лежит в соприкасающейся плоскости траектории и его всегда можно разложить на две составляющие, направленные по осям Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом:

составляющая Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом ускорения точки, направленная по касательной к траектории, называется касательным или тангенциальным ускорением;

составляющая Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом ускорения точки, направленная по главной нормали к траектории, называется нормальным ускорением.

Проекция ускорения точки на главную нормаль Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом всегда положительна, и потому нормальное ускорение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом всегда направлено в сторону вогнутости траектории.

Касательное же ускорение направлено в сторону положительного отсчета расстояний, если

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

и в противоположную сторону, если

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Очевидно, что точка движется ускоренно, если проекции скорости

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

и касательного ускорения

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

имеют одинаковые знаки, и замедленно, если эти проекции имеют разные знаки.

При задании движения точки естественным способом нам известны как траектория точки (а следовательно, и ее радиус кривизны в любой точке), так и уравнение движения точки по данной траектории Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Зная это, мы можем определить скорость точки (по формуле (67)), а затем касательное и нормальное ускорения точки (по формулам (68) и (69)).

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Зная проекции вектора а на две взаимно перпендикулярные оси (касательную и нормаль к данной точке траектории), легко найти (рис. 113) как модуль, так и направление самого вектора ускорения точки:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Пример задачи:

Точка движется по окружности радиуса Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом по закону Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом (Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — в метрах, Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — в секундах). Найти модуль ускорения точки и угол Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом между ускорением и скоростью в тот момент Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, когда скорость точки равна 6 м/сек.

Решение:

Модуль скорости точки

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

По условию задачи при Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом скорость точки Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Подставляя эти данные в выражение скорости, находим Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, откуда

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Касательное ускорение точки

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Нормальное ускорение точки Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Подставляя выражение Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом, находим Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом. Ускорение (полное) точки

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Угол Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом (рис. 113) между ускорением Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом и скоростью Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом точка определится из формулы

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Отсюда Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способомОпределение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Пример задачи:

Точка совершает движение по винтовой линии согласно уравнениям

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

(Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — в метрах, Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом — в секундах). Определить численные значения скорости и ускорения точки, а также радиус кривизны ее траектории.

Решение:

Проекции скорости на координатные оси:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Модуль скорости

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Проекции ускорения на координатные оси:

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Модуль ускорения

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Так как модуль v скорости — величина постоянная, то касательное ускорение

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Таким образом, ускорение а точки состоит только из се нормального ускорения

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Отсюда находим радиус кривизны траектории

Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом + пример с решением
Определение скорости точки при задании ее движения естественным способом
Частные случаи движения точки
Поступательное движение