Оглавление:
Определители
Пусть дана квадратная матрица
Определителем (детерминантом) матрицы 
называют число, которое ставится в соответствие данной матрице и обозначается
Определитель матрицы второго порядка
Если в квадратной матрице 
вычеркнуть 
-ю строку и 
-ый столбец, то получим матрицу 
размера 
. Определитель этой матрицы называется минором элемента 
и обозначается 
.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется минор этого элемента, умноженный на 
, т. е.
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы. Сумма же произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.
Воспользовавшись этой теоремой, найдем определитель матрицы третьего порядка:
Вычисление определителей n-го порядка
Всякие 
чисел, расположенные в определенном порядке, образуют перестановку. Меняя порядок расположения цифр в перестановке, получим другую перестановку. Всего перестановок из чисел —
. Если в перестановке меньшее число следует за большим, то говорят, что имеется инверсия. Перестановка из -элементов называется четной, если число инверсий в ней четно и нечетной, если оно нечетно.
Пусть дана матрица
Определителем -го порядка квадратной матрицы называется алгебраическая сумма 
-слагаемых вида 
, состоящих из сомножителей, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. При этом слагаемые, у которых вторые индексы сомножителей 
образуют четную перестановку, берутся со знаком «+», нечетную перестановку — со знаком «-». Таким образом, 
, где 
— число инверсий в перестановке ().
Свойства определителей n-го порядка
- При замене строк столбцами определитель не меняется.
- При перестановке двух строк определитель меняет знак.
- Если все элементы какой-нибудь строки равны нулю, то определитель равен нулю.
- Если элементы строки умножить (разделить) на число
, то значение определителя увеличится (уменьшится) в -раз. - Если матрица имеет две одинаковые или пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю.
- Если элементы какой-либо строки матрицы представляют собой сумму слагаемых, то определитель этой матрицы равен сумме двух определителей соответствующих матриц.
Определитель -го порядка вычисляется путем приведения его к треугольному виду. Метод вычисления определителя путем приведения к треугольному виду заключается в том, что, используя свойства определителей, приводят его к виду
который называется треугольным. Очевидно, что
Задача №3.
Дана матрица
Найти алгебраические дополнения элементов второго столбца.
Решение:
Задача №4.
Вычислить определитель
преобразовав его так, чтобы два элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разлагая полученный определитель по элементам этого ряда.
Решение:
Используя свойства определителей, преобразуем данный определитель следующим образом: к первой строке прибавим вторую, а к третьей — вторую, умноженную на 2. Получим
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Обратная матрица с решением задачи |
| Ранг матрицы задачи с решением |
| Операции над матрицами задачи с решением |
| Применение рядов в приближенных вычислениях задачи с решением |
