Оглавление:
Применение рядов в приближенных вычислениях
С помощью рядов можно приближенно вычислить значение функций, определенных интегралов, логарифмов, чисел, корней. Для вычисления приближенного значения функции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые к членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, надо оценить сумму отброшенных членов. Ошибка приближенного вычисления не должна превосходить абсолютную величину первого из отброшенных членов.
Задача №117.
Вычислить 
с точностью до 0,0001.
Решение:
Преобразуем данное выражение:
Для этого приближенного вычисления применим разложение функции 
в ряд Маклорена, полагая 
.
Полученный ряд является знакочередующимся рядом, для которого выполняются условия признака Лейбница.
Так как четвертый член ряда
то отбросим его и следующие за ним члены ряда. Получим
Следовательно, 
.
Задача №118.
Вычислить 
c точностью до 0,0001.
Решение:
Применить теорему Ньютона-Лейбница для неопределенного интеграла 
невозможно, т. к. этот интеграл не выражается в элементарных функциях. Воспользуемся разложением функции 
в ряд Маклорена:
Так как 
, то для вычисления интеграла с заданной точностью нужно взять три первых члена разложения:
Задача №119.
С точностью до 0,001 вычислить 
.
Решение:
Разложим функцию 
в ряд Маклорена:
Положим 
. Получим
Так как 
, то достаточно взять сумму трех первых членов:
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Степенные ряды задачи с решением |
| Ряды Тейлора и Маклорена задача с решением |
| Операции над матрицами задачи с решением |
| Определители задачи с решением |
