Оглавление:
Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция 
в некоторой окрестности точки 
разлагается в степенной ряд
и имеет производные любых порядков, то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
Степенной ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Если 
, то ряд
называется рядом Маклорена.
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
Теорема. Если функция имеет производные любого порядка и они ограничены в окрестности точки одним и тем же числом 
, т. е. 
, то для любого 
из этой окрестности выполняется равенство
Рассмотрим разложение в степенной ряд (ряд Маклорена) некоторых элементарных функций:
Задача №116.
Разложить в ряд Тейлора функцию 
по степеням 
Решение:
Воспользуемся разложением
положив в нем 
и вычислив значение производных этой функции при 
.
Подставим эти значения в формулу (1), получим
Этот ряд сходится, если 
, т. е. при 
или 
. Полученный степенной ряд является рядом Тейлора для функции 
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
