Оглавление:
Определителя Грама
- Определитель грамм х). Этот параграф покажет вам, как Вы можете найти проблемы линейной зависимости Евклидово пространство вектор ei, e2, …, ek system. Для этого введем так называемые грамм-определители указанного Векторная система.
- Определитель грамм системы векторов ei, e2, …, ek называется Следующие модификаторы: (Ее пример) (ее е2) … (ее пример) (E2, ex) (e2, e2) … (e2, ex) ek, ei) (e /, e2) … (ek, ek) Утверждение верно. Теорема 8.1. Векторная система ei, e2, …, *) Йорген Грам A850-1916) — датский математик. Евклидово пространство En зависит от линейности.
Определитель Грама (8.1) этой системы эквивалентен: Вены до нуля. Доказательство. 1) Нужно. Людмила Фирмаль
Пусть вектор ei, e2, …, ek линейно зависимы. Тогда один из них, например, Оставшаяся линейная комбинация: ek = aie1 + a2e2 + … + ak-iek-i Умножить записанное отношение на e ^, i = 1, 2, …, & scalar Последняя строка определителя Грама (8.1) Линейная комбинация первых k-1 рядов. Теорема 1.7, это Определитель равен нулю. Необходимость условий была доказана.
2) Достаточно. Определитель грамма (8.1) Равно нулю Этот столбец линейно зависим. Это значит Все исчезновения е? я, F32, ••. , / 3k (если i = 1, 2, …, k) связь /? 1 (e <, ei) + / 2 (e <, e2) + … + / ^ (e ek) = 0. Перепишите эти отношения в форме (Ei ^ iei + f32e2 + … + / Зкек) = 0, i = 1, 2, …, fc, Вектор /? Вы можете видеть, что ei + fi2e2 + … + Pkek ортогонален всему торы ei, B2, …, e /, то есть ортогональны линейному промежутку L этих векторов Ров.
- Поскольку этот вектор принадлежит L, он равен нулю. с того времени Не все / 3i равно нулю. То есть векторы ei, e2, …, e / Нео зависимость. Теорема доказана. Если результирующие векторы ei, e2, …, e / линейно независимы, Определители грамм этих векторов не равны нулю. В этом случае, давайте докажем определитель Грама Ложные. Пусть L — линейная оболочка векторов ei, e2, …, e &. Очевидно, что ei, e2, …, e / являются основой L.
Рассмотрим билинейную симметрию Десятичный формат A (x, y), скаляр Дения (x, y): A (x, y) = (x, y). Соответствующая вторичная форма ma A (x, x) = (x, x) явно однозначно, Согласно теореме 7.6 (стандарт Сильвестра) определитель det (a ^) Матрица (aij) базисов ei, e2, …, e / положительна.
Но это Определители делителей и грамм системы (8.1) мы e e2, …, ek, для ac = (e;, e ^). Людмила Фирмаль
Смотрите также:
