Оглавление:
Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов
- Взаимная база. Ковариантный и контравариантный Векторные координаты. ei, e2, …, en — основа Евклида Космическая Эп. Базисы e1, e2, …, en называются взаимными sis e ^, r = 1, 2, …, n, отношения (^) ^ (; ^ ‘(8.2) [O для r f j. для r, j = 1, 2, …, n Символ Sj называется символом крокера. Возникают вопросы взаимного существования и уникальности Jissah.
- Ответ на этот вопрос — да. zis e1, e2, …, en имеют свою взаимную основу. Для Доказательства таковы: x {, x2, …, xJn- Координаты базы e ^ расчетного вектора eJ: ej = x {e ± + x {e2 + … + <en, j = 1, 2, …, элемент (8.3) Умножение е ^ на скаляр с обеих сторон последнего уравнения дает: Использование (8.2) x {(ei ex) + xJ2 (ei, e2) + … + x3n (ei en) = 5 \, r, j = 1, 2, …, элемент (8.4)
Соотношение фиксированного j (8.4) можно представить следующим образом Квадратная система неизвестных линейных уравнений. Людмила Фирмаль
Координаты x {, xJ2, …, xJn вектора eJ в базе e ^. Так как решить Системный определитель (8.4) является основным определителем по Граму Согласно результатам теоремы 8.1, векторы ei, b2, …, en, it Система (8.4) имеет собственное решение, потому что оно не равно нулю x {, xJ2, …, xJn. Потому что эта система не ноль, Гетерогенный.
Затем используем соотношение (8.3), вектор eJ явно удовлетворяет соотношению (8.2). Также векторы e1, e2, …, en Фонд. Сделайте линейную комбинацию этих векторов равной нулю. aie1 + a2e2 + … + apep = 0. Умножьте последнее уравнение последовательно на скаляр Используя ei, b2, …, en и (8.2), a1 = 0, a2 = 0, …, an = = 0 Таким образом, векторы e1, e2, …, en линейно независимы. Формирование фундамента.
Таким образом, для взаимного основания eJ и основания e ^ существуют и определяют Это уникально. Замечания 1. Относительно симметрии соотношения (8.2) Взаимная база e ^ и ej и база eJ есть база e ^. И поэтому Кроме того, взаимные основания e ^ и eJ объясняются. Замечание 2: когда основания ei, e2, …, en ортонормированы, Взаимный фонд eJ соответствует этому фундаменту.
Конечно, В этом случае установка eJ = ej покажет соотношение (8.2) Он был реализован. Используйте свойство уникальности взаимного фонда Я убежден в эффективности замечаний. e ^, eJ — обратные основания, а x — произвольный вектор про Блуждая. Расширяя вектор x базисных векторов e ^ и eJ, x = xie1 + x2e2 + … + jpep, (, 1 9 г (O’O) x = x ei + x e2 + … + x en v y
Координаты базового вектора eJ x (xi, x2, …, xn) называются Вариант координат вектора x и координат (x1, X2, …, xn) этого вектора базиса е ^ называется контравариантным Координаты вектора х. Эти имена объясняются в Следующий абзац Чтобы уменьшить запись выражений, которые отображают один и тот же тип Термин (примером такой формулы является (8.5)), используйте контракт Мир.
- Соглашение заключается в следующем: Пойдем туда Выражение состоит из факторов, снабженных конечными Некоторые индексы ниже, количество индексов в других частях- Топ. В то же время я согласен, что все подписчики будут указаны Разные персонажи. Я согласен с верхним индексом Означает другого персонажа. Если это выражение встречается Два одинаковых индекса.
Один вверх, один вниз Тогда я считаю, что сумма производится по этим показателям. Индекс содержит значения 1, 2, …, n и Результирующий термин дается. Например xiei = xie1 + x2e2 + … + jpep, 8 \ = 8 \ + 8 \ + … + 5JJ, gijXlxJ = (gljx1xJ) + (g2jx2xJ) + … + (gnjxnxJ) = 2 + … + glnx1xn) + 1 + g22X2x2 + … + g2nx2xn) + … + + (Gn ^ x1 + gn2Xnx2 + … + gnnxnxn).
Используя соглашение о сумме уравнения (8.5), напишите: Он компактен следующим образом. x = xie \ x = xeg. (8.6) Людмила Фирмаль
Замечание 3. Верхний и нижний одинаковые индексы. обычно говорилось в соглашении на сумму, названную Общая колода. Очевидно, что вы можете сделать аддитивный индекс Отображается с одинаковыми символами. Это не изменится Выражение, в котором они появляются.
Например, х ^ е, и Иметь такой же взгляд. Получить явное выражение Ковариантные и контравариантные координаты вектора x. Для этого умножьте первое уравнение (8.6) на ^ е ^ на скаляр. Секунда х ^ 3. Далее с учетом соотношения (8.2): (X, e ^) = Xi (el, ej) = XiSj = Xj, (x, eJ) = xi (e ^, eJ) = x% <) \ -xJ так Xj = (x, еДxj = (x, ej). (8.7) Используя соотношение (8.7), запишите выражение (8.6) следующим образом: Форма: x = (x, ei) ei, x = (x, e *) e *. (8.8)
Соотношение (8.8) называется уравнением Гиббса 2). Вернемся к вопросу построения взаимной инфраструктуры. Используя формулу (8.8) м e <= (e *, e >>, -, e <= (e <, ej) ^. (8.9) Вводим обозначения Используя эти обозначения, перепишите соотношение (8.9) как Следующим образом: e * = gijej, et = g ^. (8,11) Следовательно, достаточно знать, чтобы построить базу e с базой e.
Чтобы построить матрицу (гр ^) и базу е ^ из базы е Я знаю матрицу (gij). Давайте докажем, что эти матрицы противоположны друг другу. Пожалуйста, обратите внимание Обратные матричные элементы Поскольку эта матрица является матрицей, очевидно, что используется соотношение (8.11). Проблема построения взаимной инфраструктуры была решена.
2) Д.Б. Гиббс (839-1903) — американский физик-теоретик. Следовательно, он устанавливает, что матрицы (gj) и (gij) противоположны друг другу. Умножение e & на скаляры в первом уравнении (8.11) дает: (E, e &) = гли (ej, e &). Исходя из этого соотношения, учитывая (8.2) и (8.10) Вы найдете 10 для г ^ фк. Следовательно, произведение матриц (q ^) и (q ^) имеет вид Матрица боевых единиц. Следовательно, матрицы (gj) и (gij) Обратное.
Смотрите также:
| Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей | Преобразования базиса и координат |
| Определителя Грама | Понятие тензора |
