Оглавление:
Понятие числовой последовательности
Определение 2.1. Если каждому натуральному числу 
поставлено в соответствие число 
, то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность 
Числа 
— элементы или члены последовательности, — общий или -й член последовательности. Последовательность обозначают как 
или задают с помощью -го члена.
Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.
Пример 2.1.
а
Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа 
, что при всех выполняются неравенства
При этом говорят, что число 
ограничивает последовательность снизу, a 
— сверху.
Определение 2.2′. Последовательность 
называется ограниченной, ест 
такое, что для 
Заметим, что не всякая последовательность ограничена.
Пример 2.2.
Последовательность 
ограничена снизу 0, сверху 
; последовательность 
ограничена снизу 1.
Определение 2.3. Последовательность называется неограниченной, если для 
Пример 2.3.
Последовательность 
не ограничена.
Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.
Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в , то опа называется подпоследовательностью и обозначается 
, причем 
.
Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей и 
называют последовательности 
, члены которых образованы по следующим правилам: 
. Произведением последовательности 
на число С называется последовательность 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
