Представление функций в виде интеграла Фурье

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Представление функций в виде интеграла Фурье

Представление функций в виде интеграла Фурье. Это делает функцию / полностью интегрируемой по всему реальному axis. In в некотором смысле он описывает Интеграл, соответствующий ряду Фурье, в котором сумма экспоненты n заменяется интегралом некоторого параметра. И $ [а (г) совместное§ху + Б (г) ху 51n] ый,(56.1） О Где же он? |И а (г)= 4^/^) ω&Йи,(56.2） Объектно-ориентированный +»Ми (56.3） B (n)= 4 5!В)^ Нм(.Формулы (56.2) и (56.3) аналогичны формулам для коэффициентов Фурье. Определение 1.Интеграл(56.1) называется интегралом Фурье от/. И Пять [а(у)С08ху+ б(у)8шху]с1уО Присвойте (55.2) и (56.3) интегралу (56.1) и преобразуйте его следующим образом: Один Я + ОО + 00 4-ОО О 5 или нет (56.4） ^ гг ^ /(0(С08(Ц0 $ xy81P(sshhu)).

Так что сумма рядов Фурье функции при определенных условиях равна самой функции, интеграл Фурье также представляет собой исходную функцию. Людмила Фирмаль

Теорема 1.Фото: Joshua Roberts / PA 1) ’、 2) в точке x справа находится производная/ ’(x), а слева-производная}’ (x).Тогда x действителен для указанных точек + 00 объектно-ориентированный НХ + 0)±РХ-0)=(§дю§я(1) С08 г(х-1)и. (56.5） О да. Доказательство. Рассмотрим Интеграл Л + ОО 5(н)= 5 ^ ^ /(0 С08 г(х −1) (У, (56.6） О * оо Где m] 0, а l. односторонние производные φ, (x) и/ 1 (x) являются неподвижными точками. Очевидно, что интеграл Фурье + Со +00 ^ды ^ /(0 С08 г (х /)(у(56.7） О да. Является пределом функции (56.6) и m!** * ° ° , То есть 5 (m]) является в этом смысле аналогом частичной суммы рядов Фурье.

Интегралы Фурье и преобразования Фурье 392. Для каждого числа E 0, следуйте параметрически зависимой интегральной теореме (см.§ 53.1)、 $ /(0 доплата $ г(х-1)м = $ /(0-й (^со $ г(х-1)гг = о | о = ^ /(0 5’n ^ °si.(56.8） −1 Действительно, кусочная непрерывность функции/ ( / ) позволяет разбить прямоугольник-0 Y r \на конечное число прямоугольников с линиями, параллельными оси Oy, и каждая функция/ ({) C08 y (x -/) как функция 2 прямоугольных переменных до границы, уже непрерывной (при необходимости на указанной границе значение/в одну сторону, т. е./ (+/0) или-извините.(/0)). Применяя теорему 53.1 3 к каждому прямоугольнику и суммируя полученные результаты, получаем формулу (56.8).

От очевидного неравенства 1 /(0 cos * / (*-0 I ^ I /(0! + ОО И Интеграл сходится$ {/( / ) | SK должен быть однородным −00 Мост интервала[0, m) относительно параметра y интеграла + 0° П (Г)= 5 число) соѕ(х () Вт,(56.9） −00 То есть, функция П(г, Б)= ^ /(0, потому что г (х /)(я −6. Интервал[0, r.] равномерно ограничен как| φ°°(56.9). Кроме того, функция P (y, I) смежна с y. In фактически, функция / разделена интервалом [ -’|]. | / ( / ) / М, \ 1!• коэффициент непрерывности функции в ω (6) представляет собой коэффициент ω€γ (χ-(), О-уут) и 11πп (о (б) = 0 \ П(г + Ай, б)-п(г, 0 | Я ^ ^ | /(/) 11 co8(г-фай)(х-я) сова(х-/)| *#= ^ 2м!; д(Ар/) —0 −6 В Ас-0. ■ Теорема 2, по§ 53.1, в левой части уравнения (56.8), может быть передана как|∞до предела под знаком интеграла.

Представление функции в виде интеграла Фурье 393. 5(г])= ] Я 4-ОО 5 но х-1 И В результате、 х Этот Интеграл конечен (см. (56.6) и (56.9)) потому что он равен§п (г) О Где функция P (y) непрерывна как предел группы функций P (y,|) и сходится равномерно как|-φ°°. Интеграл S (r) аналогичен интегралу Дирихле ряда Фурье. u = 1-x (ср.(55.17).、 4-ОО 5 (а）== |-^ /（ «+ *）^ п ^«КОМПАНИЯ. Мы представляем полученный Интеграл в виде 2 сумм. Н-ОО 0 4 * ОО $ = $ + $ Ко-Ко о И запустить замену в первом из них, и я получаю, = 4-ОО 5(М0 =-5 [НХ + о + НХ-у ^ У. О Помните (см.§ 54.4) m) 0 4-ОО СЯПЧ \ 1лх^ 3-D и= 2 О Мы получаем 4-ОО 4 «и Г/（* + 0）+ /（-0）] 1 5 Да. 4-ОО = Д / ^±0 ^±0) 81n ^ ^ + Да. 4 „и + 1 ^(56.10) о Триста девяносто четыре 56.Интегралы Фурье и преобразования Фурье Например, рассмотрим первый Интеграл справа от этого уравнения.

Функция f кусочно непрерывна во всех конечных сегментах и абсолютно интегрируема через сплошную линию. Людмила Фирмаль

Разделите его на 2 интеграла. + ОО 1 ОО 5 = 5 + 5Около 1 С Золото/（ + 0 /（* +°= чтобы * +о, 1 ^Представляет собой кусочно-непрерывную функцию Переменная I в интервале[0, 1]; таким образом, по теореме§ 55.2 2 МПС С н “ + о°с К (56.11） Функция^также кусочно непрерывна в любом интервале Половинный вал 1 ^ 1 или позже РХ + 1） К + о° + 00 1 / (*+01. + 00 * + 1 5 ^ | /(Х + 01 ^ = $ Я + ОО 5 | / (5) / С1З+СУЭ、 −00 То есть,^ ^абсолютно интегрируемо на этой полуоси、 Ну, по той же теореме + 00 Тю с ^ 51n с {ЦК-о. (56.12） Ч +°П 1 + 00 Наконец, из сходимости интеграла ΛΛ (см.§ 33.6）、 О Если вы измените переменную u-i /、 НГП ■северный+» * [(х + о）（ + КОМПАНИЯ 81P Λ^Λ= /(x + 0） П +ОЗ» НГП П + оо /（* + /）-/（* + 0） 5 ВТ ^ С?/ = 0. Из (53.11), (56.12), и (56.13)、 56.2.Различные типы выражений записи-Фурье Триста девяносто пять Это тоже было доказано. Да. Золото Т1 + 00 1 $ 0) 51pt) W = 0 Да. Поэтому (благодаря.

Почленное интегрирование рядов Фурье.	Различные виды записи формулы Фурье.
Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.	Главное значение интеграла.