Оглавление:
Преобразование Фурье
- преобразование Фурье. По нашему предположению, выражение Фурье (10) выполняется для всех значений x в интервале (—OO,+OO). Это выражение можно представить как суперпозицию этих двух выражений: У р (г)е~1hg а*).г(13) * ) Последний Интеграл, если только
допущение о/(x), о котором говорилось выше, понимается в смысле «основной величины». -00 Функция E(g \ сопоставима по первому выражению функции/(x), которая называется P R e o b R A z o V A n I E M f R e. тогда, согласно второму уравнению, функция/(x) является
(O b R a t n s m) p R e o b R a z O V a n I e M F u R e (разность знака).) Для Людмила Фирмаль
функции E (x). Но здесь возможна исходная функция / предположим комплекс. Равенство. — {- ОО4 0 0 0 4-ОО Здесь функцию/(x) D a можно рассматривать как интегральное уравнение относительно n e и z из e с t n o-й функцией E (g), стоящей под знаком интеграла. Решение
уравнения задается формулой е’Си Ли. г-00 Естественно, это равенство возможно и может меняться ролями. Обратимся теперь к формуле (11), она справедлива для всех положительных значений x, ее можно представить в виде суперпозиции двух— — — — / (Я)ГП ги ли, ЕС (2) SOE X2b?2. Один. Я Я } (14) 412]§3. Интеграл Фурье 407 Аналогично,
- формула (12) может быть разбита на две части: / (Я)81P привет Ди, Р8 (ч)81P ХХ ДХ. (15) Функции RS (x) и называются соответственно K o s I n u R e-o b R A z o V i z o I m или s I n u s-p R e o b A z O V A n I m f u можно видеть,функции RS(или P8) получаются/таким же образом другими словами, функции z a и m n o/и PC (P8) являются косинусными
(синусоидальными) преобразованиями. Коши назвал сопряженные функции первого и второго рода парой функций/и PC или / и P8 соответственно. Кроме того, здесь каждое из уравнений(14) [или (15)]можно рассматривать как интегральное уравнение, которому задана функция вне интеграла и где функция под знаком интеграла найдена. Если сравнить функции P, PC, P8, то можно сказать: H e t n-й случай функции / (x) мы имеем P (x)=RS (x) (значение z<0 функция RS (? Если н е ч е т н о г / (х ): Р(х)=1P8(х)(по значениям х<П8 0function (х)распространяется н е е е е т н ы м способом).
В общем случае функция/(x) разлагается на сумму четных и нечетных функций: = Людмила Фирмаль
М ,) = Затем Р(х)=СС(2)+ш8(х)*. * ) OS(g)представляет косинусное преобразование функции^(x), а#$(2)представляет синусоидальное преобразование функции K (x). В связи с этой ситуацией достаточно ограничиться примерами косинусных и синусоидальных преобразований. 1) функция/(x)=e~a x(a>0,x^>0); ее косинусное преобразование является функцией GS (x)=]/ / p-CO5 2x y g=O Функция преобразования синуса R D h)=] / 1$ega g81gp GH GH AG=. o408 глава XXIV. ряды Фурье[412 А поскольку e~A x интегрируемо в интервале[0,
OO], то должна существовать взаимосвязь Иметь ООО Sozgh 2А Т-А2Н-22-е (12=е-х co2S2 81PY2X Я » А2+Г2’yg=е~х (х^О. ), (х>0 ) Или ООО 2 81P x2 А2+ * 2 е — Да. 2′ В этих интегралах мы узнаем уже известные нам интегралы Лапласа[n°308,4°]. Таким образом, у человека с парой функций e~a x L/~_и e~a x1/~-X ‘ to te A2+x2’V to A2+x2, если первый и второй класс o P R I W e n s x N S интеграла Лапласа нам не известен, представленная теория откроет путь к их вычислению. 2)
рассмотрим функцию, определяемую уравнением В этом деле ГС(ч)=4 5SO3g ч^=] л-| — о’ 1 Для 0^xдля Но Если вы хотите проверить формулу Фурье в этом примере, найдите косинусное преобразование результирующей функции: ООО Два. Они Ноль. 81P ——— Попса. Два. Предположим, что мы перепишем этот Интеграл как 1S^ng.AG+1Gl1p (±t.*) g AG, te3 2 ‘ te3 2 Отчет Тогда сразу становится ясно, что [N°293,Примечание]его значение фактически соответствует исходной функции/(x)!
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
