Оглавление:
Решение произвольных систем
Базисными неизвестными совместной системы назовем те, коэффициенты при которых образуют базисный минор матрицы системы; остальные неизвестные назовем свободными.
Решение системы линейных уравнений производится следующим образом.
- Находим
— ранг матрицы и
— ранг расширенной матрицы. Если
, то система несовместна.
- Если
, то выделяем базисный минор и базисные неизвестные.
- Данную систему заменяем равносильной, состоящей из тех
уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.
- Если
, т. е. число имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.
Если , т. е. число базисных неизвестных меньше числа неизвестных системы, то из системы, полученной в пункте 3, находим выражение базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесконечно много решений исходной системы.
Задача №10.
Решить систему
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7418.png)
Решение:
1. Находим ранги матриц
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7446.png)
Получим . Следовательно, система совместна.
2. В качестве базисного минора можно взять, например, минор
Тогда базисными неизвестными будут и
.
3. Данная система равносильна системе
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7458.png)
4. В данном случае . Запишем последнюю систему в виде
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7461.png)
По формулам Крамера находим
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7478.png)
Следовательно, множество решений имеет вид
![Решение произвольных систем матриц задача с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7480.png)
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: