Решение задач на прогрессии

Множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью. Элементы этого числового множества называются членами последовательности. Числовая последовательность обычно обозначается малой латинской буквой с номером; например Решение задач на прогрессии Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена последовательности. Последовательность может быть конечной и бесконечной. Например, последовательность цифр конечна и состоит из Решение задач на прогрессии цифр: Решение задач на прогрессии последовательность натуральных чисел бесконечна.

Множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью. Элементы этого числового множества называются членами последовательности. Числовая последовательность обычно обозначается малой латинской буквой с номером; например

Решение задач на прогрессии

Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена последовательности. Последовательность может быть конечной и бесконечной. Например, последовательность цифр конечна и состоит из

Решение задач на прогрессии

цифр:

Решение задач на прогрессии

последовательность натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если для всех Решение задач на прогрессии, и убывающей, если для всех Решение задач на прогрессии Решение задач на прогрессии. Соответственно, неубывающая и невозрастающая последовательности определяются так: при всех Решение задач на прогрессии Решение задач на прогрессии либо Решение задач на прогрессии.

Задача №135

Доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена Решение задач на прогрессии, — возрастающая.

Решение:

Решение задач на прогрессии

и прогрессия возрастающая.

Если последовательность чисел подчиняется закону: Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии, где Решение задач на прогрессии — два соседних члена последовательности, a Решение задач на прогрессии — разность между ними, постоянная для всех таких соседних чисел, то эта последовательность называется арифметической прогрессией,

Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии-й член арифметической прогрессии;

Решение задач на прогрессии — разность арифметической прогрессии;

Решение задач на прогрессии

Сумма Решение задач на прогрессии членов арифметической прогрессии определяется по формулам:

Решение задач на прогрессии

Признак арифметической прогрессии формулируется так: каждый член арифметической прогрессии, начиная со 2-го, есть среднее арифметическое соседних с ним чисел:

Решение задач на прогрессии

Если последовательность чисел подчиняется закону: Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии, где Решение задач на прогрессиии Решение задач на прогрессии — два соседних члена последовательности, а Решение задач на прогрессии — постоянное для этой последовательности число, то это геометрическая прогрессия. Если Решение задач на прогрессии

, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

  • Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии-й член геометрической прогрессии;
  • Решение задач на прогрессии — знаменатель геометрической прогрессии;
Решение задач на прогрессии

Сумма Решение задач на прогрессии членов геометрической прогрессии определяется по формулам:

Решение задач на прогрессии

Если Решение задач на прогрессии, то Решение задач на прогрессии.

Геометрическая прогрессия, у которой Решение задач на прогрессии, называется бесконечно убывающей, а ее сумма определяется по формуле:

Решение задач на прогрессии

Признак геометрической прогрессии имеет формулировку: каждый член геометрической прогрессии, начиная со 2-го, есть среднее геометрическое соседних с ним чисел:

Решение задач на прогрессии

Задачи на прогрессии

Задача №136

В арифметической прогрессии Решение задач на прогрессии Найти Решение задач на прогрессии.

Решение:

Решение задач на прогрессии нужно найти Решение задач на прогрессии.

Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии

Задача №137

Найти сумму всех двузначных положительных чисел.

Решение:

Эти числа образуют арифметическую прогрессию, у которой Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Задача №138

Сумма 4-го и 6-го членов арифметической прогрессии равна 14. Найти сумму первых девяти членов прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №139

Знаменатель геометрической прогрессии равен —2, сумма ее первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый член прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №140

В геометрической прогрессии Решение задач на прогрессии Найти Решение задач на прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №141

Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.

Решение:

Все такие числа образуют арифметическую прогрессию, в которой Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Задача №142

Сколько имеется двузначных натуральных чисел, кратных 6?

Решение:

1-е двузначное число, кратное 6, равно 12, 2-е число — 18, 3-е — 24 и т.д., т.е. такие числа образуют арифметическую прогрессию: Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Задача №143

В геометрической прогрессии Решение задач на прогрессии Найти Решение задач на прогрессии и Решение задач на прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №144

Между числами 1 и 256 вставить 3 числа так, чтобы все пять чисел составляли геометрическую прогрессию.

Решение задач на прогрессии

Задача №145

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найти 1-й член прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №146

Сумма 3-х положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если ко 2-му из них прибавить 1, к 3-му 5, а 1-е оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти исходные числа.

Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессиигеометрическая прогрессия со знаменателем Решение задач на прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №147

Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма ее первых 3-х членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275.

Решение задач на прогрессии

Задача №148

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии Решение задач на прогрессии если известно, что Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Задача №149

Найти 4 целых числа Решение задач на прогрессии если известно, что числа Решение задач на прогрессии образуют геометрическую прогрессию, а Решение задач на прогрессииобразуют арифметическую прогрессию и Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Преобразуем 3-е уравнение:

Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии

Задача №150

Известно, что при любом Решение задач на прогрессии сумма Решение задач на прогрессиичленов некоторой арифметической прогрессии выражается формулойРешение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии Найти четыре первых члена этой прогрессии.

Решение задач на прогрессии

Задача №151

Найти 1-й и 5-й члены геометрической прогрессии, если известно, что Решение задач на прогрессии и Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии

Задача №152

Найти 3 числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии

Задача №153

Найти четыре первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.

Решение задач на прогрессии

Задача №154

Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Решение:

Решение задач на прогрессии— геометрическая прогрессия; Решение задач на прогрессииРешение задач на прогрессии — арифметическая прогрессия.

Решение задач на прогрессии

Задача №155

Решить уравнение

Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии

Задача №156

Сумма 3-х чисел равна Решение задач на прогрессии а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна Решение задач на прогрессии. Найти эти числа.

Решение задач на прогрессии

Задача №157

Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Решение задач на прогрессии, если ее 2-й член равен Решение задач на прогрессии а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равно Решение задач на прогрессии

Решение задач на прогрессии
Решение задач на прогрессии

Задача №158

Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В арифметической прогрессии Решение задач на прогрессии и Решение задач на прогрессии В геометрической прогрессии Решение задач на прогрессиии Решение задач на прогрессии. Выяснить, что больше: сумма первых шести членов арифметической прогрессий или сумма первых восьми членов геометрической прогрессии?

Решение задач на прогрессии

Задача №159

Магазин радиотоваров продал в 1-й рабочий день месяца 105 телевизоров. Каждый следующий рабочий день дневная продажа возрастала на 10 телевизоров, и месячный план — 4000 телевизоров — был выполнен досрочно, причем в целое число рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?

Решение:

До выполнения плана продажа телевизоров происходила по закону арифметической прогрессии:

Решение задач на прогрессии

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение задач с целочисленными неизвестными по математике
Решение задач с помощью неравенств
Решение задач на функции по математике
Числа, числовые и алгебраические выражения