t-распределение

t-распределение

• Распределение Приближение выборочной дисперсии к общей зависимости от числа степеней свободы, определяемых как f = n- я n — количество измерений, равное количеству параллельных выборок. Чем меньше число степеней свободы, тем менее достоверна выборочная дисперсия S2 с общей дисперсией a2.

• В нормальном распределении возникновение больших ошибок меньше, чем мелких ошибок, поэтому вероятность больших ошибок уменьшается с уменьшением числа параллельных выборок. Невыполнение этого требования приводит к искаженным, недооцененным значениям. Эта надежность, связанная с числом решений (параллельных выборок), учитывается распределением Стьюдента.

Это увеличивает вероятность появления больших и меньших ошибок, чем нормальное распределение. Людмила Фирмаль

Как и нормальное распределение, распределение / является симметричным и максимизируется при том же значении абсциссы, которое было в нормальном распределении. Однако характеристики кривой распределения f, такие как высота и ширина, Это зависит от количества степеней свободы, то есть количества измерений (рис. 7.3).

Как фото. 7.3, чем меньше число степеней свободы, тем меньше наклон кривой и тем медленнее приближение к горизонтальной оси для того же стандартного отклонения. В ОС распределение / меняется на нормальное. На самом деле, даже эта разница почти незаметна.

Для нормального распределения с большим количеством измерений, если доверительный интервал ^ ± 2® реализуется с вероятностью 95%, указанное значение доверительного интервала реализуется с доверительным интервалом x ± tPJSi для небольшого числа измерений. , В зависимости от количества степеней свободы, для конкретного P в нормальном распределении и / или распределении.

Индекс P y / указывает фиксированную вероятность и / — количество степеней свободы. В таблице приведены числовые значения различных коэффициентов P и f //>./. 7.1. Как видите, при P = 95% и / = 20 коэффициент tpj = 2,09, то есть значение, близкое к 2, что является характеристикой нормального распределения. Когда значение / мало, разница между нормальным распределением и / распределением очень велика.

Например, если / = ZiN = 95%, коэффициент / ,,; = 3,18 вместо 2 в нормальном распределении. Предполагаемая относительная ошибка (относительное отклонение) среднего арифметического рассчитывается по следующей формуле: P.I х пакет Для данной вероятности доверительный интервал R o 5 X ± tp / — = X +6, / n если Рисунок 7.3.

Кривая / распределение: / — / -! ; 2- / = 5; 3-f = оо (7-5) (7.6) 6 = / р г / р Где ft • — наиболее вероятная ошибка анализа с заданной доверительной вероятностью. Истинное содержание или общее среднее значение Вызывается в диапазоне x-tPf — $ — ~ x + tPf- ^ / л / л Я также доверяю границам. Вероятность получения результатов, превышающих эти пределы.

• Поскольку риск остается ненулевым (первый), доверительный интервал должен характеризоваться уровнем достоверности, который должен отображаться так же, как и число степеней свободы. Как правило, доверительный интервал для результатов анализа рассчитывается с уровнем достоверности 95%. Как показывает уравнение (7.5), чем больше число решений для n, тем меньше доверительный интервал для конкретной доверительной вероятности.

Точность анализа повышена. Например, при доверительной вероятности 95% для двух параллельных решений доверительный интервал в соответствии с уравнением (7.5) составляет ± S = ± 95, а три доверительных интервала составляют = fc — ^ — 5 = ± 2,5 с, 4 ± = ± 1,6 с и 5 / с 2 78 ± -q ^ -S = ± 1,245. Дальнейшее увеличение числа параллельных выборок оказывает гораздо меньшее влияние.

Как видите, наиболее эффективным является В доверительном интервале количество решений увеличивается только до 4-5 параллелей. Людмила Фирмаль

Таким образом, более четырех параллельных решений принимаются только в особых случаях, таких как определенные арбитражные анализы. В качестве примера, давайте рассчитаем фотометрические метрические характеристики для измерения олова в бронзе в виде комплекса тиомочевины. Четыре параллельных измерения дали следующие результаты, выраженные в терминах массовой доли (u> Sn (%)). 4,64; 4,84; 4,61.

При фактическом расчете среднего результата формула обычно не является формулой (7.1) n = 1 Где A — произвольное значение, которое смещает исходную точку отсчета для удобства расчета. В этом случае возьмите / 1 = 4,70 и найдите его по следующей формуле: s = 4,704–0,10–0,06 + 0,14–0,09 4 72 4 Дисперсия рассчитывается не по уравнению (7.2), а по соотношению, более удобному для реальных расчетов. ^ (D-Af-ntf-A) 2 S2 = — н-1 s2 = 10_4, 00 + 36 + 1% + 8I-4.4 = 00 | 323 =, 32. ju_2 «5

Стандартное отклонение отдельных результатов выглядит следующим образом: S = / 1,32-10 2 = 0,115 И стандартное отклонение среднего арифметического: S = -y = m = JL1UL = 0,0575. V р V 4 Согласно таблице, если уровень достоверности 7.1 равен 0,95, а степень свободы равна 3, найдите коэффициент Стьюдента * o.95.z = 3,18. Тогда P = 0,95 и вероятность Погрешность ± 1P, — = ± 3,18 — ^ — = ± 0,182 = ± 0,18 и надежность / n *

Средний интервал составляет 4,72 ± 0, t8, то есть от 4,54 до 4,90. В расчетах конечный результат обычно округляется. Поскольку чрезмерное округление может ухудшить результаты анализа, округление должно выполняться в соответствии с определенными правилами. Неоправданно большое количество десятичных вычислений без округления не повышает фактическую точность результата и требует неоправданно больших затрат труда.

В целом, от 5 до 6 значимых цифр в результатах анализа указывают на критическое отношение к числовым ошибкам. Напомним, что ноль перед первым ненулевым числом не важен. Все вычисления должны выполняться с точностью на одну или две цифры выше, чем погрешность измерения, а количество символов может быть уменьшено только с помощью конечного значения. (Ана ошибка Лиза обычно характеризуется числами с одной или двумя значащими цифрами.

Результат анализа должен быть представлен в таком количестве цифр, чтобы последние одна или две цифры по ошибке характеризовали одну и ту же цифру. Используйте формулу (7.6) и таблицу. В 7.1 вы также можете увидеть, сколько параллельных образцов нужно взять для анализа. Это предотвращает превышение определенными значениями ошибок принятия решения.

Например, погрешность определения олова в бронзе должна быть уменьшена до ± 0,10% (абсолютная) вместо ± 0,18%, достигнутого с предыдущим стандартным отклонением ± 0,115% и уровнем достоверности 0,95. Из уравнения (7.6) ‘,, =! — ^ = — £ ^ -0,87 / н. Если n = 7, вы получаете //> ./ = 0,87 / 7 «= 2,30.

Согласно данным в таблице 7.1, если / = 6, это соответствует вероятности PcO,95, поэтому 7 параллелей Измерения недостаточно tp f = 0,87 / 5 «= 2,46. Для / = 7, согласно таблице. 7,1 * о,95,7 = 2,36 найдено. Таким образом, доверительная вероятность в этом случае составляет чуть более 0,95. Следовательно, 8 параллельных определений удовлетворяют требованию ошибки анализа.

Смотрите также:

Решение задач по аналитической химии

Правильность, воспроизводимость и точность анализа, среднее значение и стандартное отклонение	Погрешность суммы и произведения
Нормальное распределение	Обнаружение промахов