Оглавление:
Уравнения Лагранжа для свободной точки
- Лагранж equation. В предыдущей главе мы оценили уравнение движения, показанное Лагранжем для точки, которая движется вдоль неподвижной или движущейся поверхности или вдоль curve. Таким же образом можно записать уравнения движения свободных точек в любой системе координат. Этот метод является еще более важным, поскольку он может быть применен к движениям любой голономной системы. Предположим, что декартовы координаты x, y и z движущейся точки для 3 прямоугольных осей представлены новой координатой Yaz по следующей формуле: x =гг зз = гг, ЗЗ, 2 = O 1, , К3. Необходимо описать уравнения движения в новой системе координат.
То есть мы пишем дифференциальное уравнение, которое определяет qlt q2, q в функции time. To для этого используйте то же уравнение движения, которое определяет X, y и z функций t, и преобразуйте их в новую переменную, определяемую приведенной выше формулой. Однако такие вычисления слишком длинны, и метод Лагранжа как раз и направлен на то, чтобы избежать долгих вычислений. Этот метод может быть применен к декартовым координатам, если вам заданы 3 новые координаты R, q3, а также функция времени. С геометрической точки зрения это означает, что этот метод также может быть применен, если новая система координат подвижна и ее движение известно. Итак, чтобы исследовать общий т. е.
Наиболее важными приложениями предыдущей теории являются случаи, когда сила пропорциональна расстоянию и когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Людмила Фирмаль
Общий случай, мы предполагаем, что x, y и z заданы функции с параметрами qv q2, q3 и временем t. Чтобы найти уравнение движения в новой системе координат, то есть дифференциальные уравнения, определяющие функции времени qt, q2, q3, описывают уравнение движения в декартовой координате Й. И затем 1 Для этих уравнений умножьте их на члены и сложите их вместе. Возьми ДХ г г ды д ч Здесь ставим = + z. 1 е 1 1 1 тыл Потому что X, Y и Z задаются координатными функциями X. их производные на y, r и, функции qlt q. It легко вычислить Qt с помощью. его производные на q3 и.
Кроме того, заметим, что для вычисления левой части предыдущее уравнение можно записать в виде: Я ды ды, ДЗ ДЗ л Lm dt dqx 1 dt dqx dt dqj ДХ Д Ф ДХ. рфы д ды я ДЗ 1 м dt dqt dt dqt dt dqL J 1 Чтобы упростить обозначение, Лагранж подразумевает следующее: dt = а не Тогда мы получим производную по отношению к t с обеих сторон уравнения х = К2, К3, Т. Мы получаем икс dh. йй команда dh ДГ Отсюда мы выводим формулу, как в 263 dx dx D dx dx1 йй йй я ДТ йй dqx Идентификатор извлекается таким же образом. Ди. dy D f dU d tyldq di dqx dqt ДЗ ДЗ ДЗ тыі йй, ДТ dqx dqt Поэтому выражение 2 можно записать в виде: Г.. ДХ 1. ды ДЗ Т нет. dqx 4 2 d4 J сейчас Т = лм х 2 + У2 + з.
- Таким образом, T указывает на кинетическую энергию точки. Если вы замените x , y , z этими значениями 3, то T будет функцией переменной можно переписать как Тот же расчет дает: И1Л 1L O ДТ йй 3 dChz Выражение Т, ГТ 2, Q3 и их первые производные включены. Отсюда видно, что полученное уравнение Лагранжа является 2 м order. So, их общий Интеграл включает в себя 6 произвольных констант, которые определяются из начальных условий. Если известна система координат qXt q2, Q3 формула ds2, т. Расчет соответствующих деталей. В уравнениях, представляющих Qt, Q2 и Q3, X, Yt Z могут быть заменены их соответствующими значениями, но часто можно упростить вычисления.
Сначала предположим, что существует функция силы США в этом случае дю v dU 7 дю ДХ ду ДЗ И так оно и есть. Д Дж ДХ дц делать дю ДЗ ДХ dqt dqx Альдо ДЗ СЧ Здесь, предполагая, что в Формуле силовой функции U координаты x, y и r заменяются значениями функций qi9, q2, q3t, уравнения, описанные выше, можно записать следующим образом: Это будет то же самое йй К3 = 3 dq3 Эти выражения показывают, что X, Y, Z являются функциями U x, y, z. It также подходит, если это частная производная по отношению к x, y и z.
После этого движущаяся точка остается в покое, так как если она будет стремиться начать движение, то возникающее сопротивление будет больше веса. Людмила Фирмаль
В самых общих случаях, quantityyou может также упростить вычисление Qlt Q2, Q3.Дайте его в виде формулы преобразования координат = Г = х х з = з гв К2,К3 Пусть время t постоянная величина и предположим, что qx, q2, q3 получат любое возможное приращение o p Zq2t Zq3.Тогда приращения координат x, y, z будут равны: Работа основных сил на движение соответствующего дождя Идти + з унций Или благодаря предыдущему равенству Щ 1 + Ци 2 + Гр Ч И возможное смещение кривой К2 = Конст., К3 константы. Предполагая, что он выполняется вместе с QV, основная работа равна той, которая может определить Qv. Отображается Q2 и Q3 являются.
Таким образом, мы видим, что она полностью аналогична уравнениям, найденным для кривой и движения вдоль поверхности. Единственное отличие это количество параметров qv q2,… Это не проблема, сказал он.
Смотрите также:
Решение задач по теоретической механике
| Бесконечно малые колебания | Интеграл кинетической энергии |
| Движение точки по неподвижной или движущейся поверхности. Упражнения | Сферические координаты |
