Оглавление:
Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора ,
и
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму вектору
виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5698.png)
Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор
, который:
1) перпендикулярен векторам и
, т. е.
и
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и
как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
где
3) векторы ,
и
образуют правую тройку.
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5716.png)
Векторное произведение обозначается или
.
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами и
(см. рис. 18):
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5717.png)
Докажем, например, что .
1)
2) , но
;
3) векторы и
образуют правую тройку (см. рис. 16).
Свойства векторного произведения
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5719.png)
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. (см. рис. 19).
Векторы и
коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки
и
противоположной ориентации). Стало быть,
.
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. .
Пусть . Вектор
перпендикулярен векторам
и
. Вектор
также перпендикулярен векторам
и
(векторы
,
лежат в одной плоскости). Значит, векторы
и
коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5720.png)
и
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5721.png)
Поэтому . Аналогично доказывается при
.
3. Два ненулевых вектора и
коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.
.
Если , то угол между ними равен
или
. Но тогда
. Значит,
.
Если же , то
. Но тогда
или
, т. е.
.
В частности, .
4.Векторное произведение обладает распределительным свойством:
![Векторное произведение векторов и его свойства](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-5722.png)
Примем без доказательства.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Выражение скалярного произведения через координаты |
Некоторые приложения скалярного произведения |
Смешанное произведение векторов |
Основные приложения метода координат на плоскости |