Вычисление некоторых несобственных интегралов

Оглавление:

Вычисление некоторых несобственных интегралов

Вычисление некоторых некорректных интегралов. Теория параметрических интегралов эффективно применяется для расчета многих классических интегралов несоответствий. 1°. Поставим задачу вычисления интеграла (Эйлера)) Во-первых, давайте установим, что этот интеграл не имеет абсолютно никакого смысла для значения любого параметра. Значение: x=OO, x=0(в a^1 последняя точка не OO). Давайте разделим Интеграл на два.: 1+G00 Если первая из них существует при 0, и 1 функция частичной плотности x->0 бесконечно

частичной плотности<^1:x OO бесконечно мала, равен 162. — Порядок 2-a^>1, по сравнению с[n°285]. Таким образом, рассматриваемый Интеграл будет сходиться в случае 0<^a<^1. Если 0<^x<^1, то происходит разложение ряда 11=0 Это сходится равномерно только в случае 0<^e^x^1, но частичная сумма равна [0,1] Р=0 1+х Таким образом, его интегралы сходятся равномерно как при x=0, так и при x=1. Если вы интегрируете почву по (модифицированной) теореме 1、: {1=00{1=0 E * интегральная подстановка x=^ — сводимая к сердцу Отчет т+т — Да. Если применить разложение, уже полученное выше、

: а-у. Р=1 И так оно и есть., Е Ч+2<"! >‘(г н+н г)’ {1=1 Мы уже разобрали» — D- Людмила Фирмаль

t[N°293,3°; n°406,81 P I1 см. ниже Дробь простых чисел, примечания]: г — =г+2<-м т H308]§3. Используя равномерную сходимость интеграла 163 Предполагая, что 1=AA вот конечный результат: (00. Если вы дифференцируете под знаком интеграла、 Г (А)= — §Е~Ах 81p х-ых= — — — — о [п°283,5)]. Окончательный Интеграл сходится П А С Н О М е р н о Для А0(где о-любое фиксированное число больше нуля), ООО for мажорируется сходящимся интегралом I e~a<>x yx[n°302,1°]; поскольку значение o принимает применение nor a^>0, всегда можно

будет выбрать то, что было a^>A0, по крайней мере для теоремы 6n°306, но с a0^>0. Так это верно для Л У Б О й^>0. В этом случае, если^>0, это будет выглядеть так /(а)=с-ags1§А. Чтобы определить постоянную C, скажем, от A до OO.since164CHAP. Интеграл, зависящий от параметров[308 Тогда/(«) — >0, а C равно y. наконец, (10), ООО г (81P х, ТС Отчет 3°. Для пересчета неотъемлемой ООО К — ^Е — * 2 ой ой ой [ср. n°293,2°], положим в него x=I1, где любое положительное число; получим ООО K=11 (e~I * 1G (I.’o теперь умножим обе части этого равенства на~11) и интегрируем ПО и от0 до OO: ♪ООУ ООУ ООУ♪

Легко видеть, что перестановка интеграла приводит здесь к результату очень быстро. Фактически, после перестановки мы получаем 0-0. Откуда (так как очевидно/<^ > 0) Чтобы обосновать перестановку Интеграла, мы попытаемся прибегнуть к теореме 5n°305. Но Интеграл С(1+ / 2)и 2_1_1 И А-2 3 Отчет Для всех^ ^ 0 Интеграл имеет непрерывную функцию от I ОО§3. Используя равномерную сходимость интеграла 165 только в случае-n^>0, если I=0, то это будет 0 и страдать в этой точке p AZR y. поэтому нельзя применить теорему 5 непосредственно к прямоугольнику[0, OO; 0, OO]! Примените это к прямоугольнику[I0, OO;0, OO], но здесь это N0^>0. Ноль ноль 1^-(1+ * 2) и 0 1+*2е Непрерывная функция I для

всех^^0. Это оправдывает равенство. ♪Ох ох ох ох♪ Остается только, чтобы уменьшить c0, перейти здесь к пределу P0 — >O, в правой части можно сделать под Zn K o m и n t e g R a l a 4°. Наконец, обратимся к так называемым интегралам Лапласа * **)): * ) Пьер Симон л А П Л А с(1749-1827) — выдающийся французский астроном, математик и физик. * Достаточно знать, что все a>0o h имеет постоянное значение, которое может быть легко проверено простой заменой I=Ah. ООО Ноль ноль Отчет Прежде всего, сходимость по параметру а, а следовательно (согласно теореме 2), непрерывность этих интегралов по отношению к п е В О Г О, и даже по всем значениям а^о

Сами ограничиваются значением а^>0, а затем, с помощью знака (теорема 6) интеграла, Людмила Фирмаль

дифференциал、 Здесь для каждого a^0 он зависит от T o r o o G равномерной сходимости интеграла g. A0-положительное число n o e[см. n°302,2]для любых f и K s Дальнейшее дифференцирование дальше производить под знаком интеграла невозможно, так как в результате такого дифференцирования уже были бы дивергентные интегралы. Однако, если письменная эквивалентность намеренно добавлена (см. 2°выше) 166CHAP. Интеграл, зависящий от параметров[308 Тогда мы получаем: И D, а 81П А. Отчет (1х. Здесь снова можно дифференцировать под знаком интеграла, и таким образом Ноль ноль б?2У, л соз ч Так что это Высотой 2U с1а- К * й. Для

этого простого линейного d и f f e R e n C и l L n O g o U V N EN и I постоянные коэффициенты, для корня±K «характеристического уравнения», общее решение y= но для всех значений a, значение y ограничено: A3+x2=2-й’ Отчет Поэтому вам нужно^=0(в противном случае, в a>OO, значение y будет увеличиваться бесконечно). Чтобы определить константу C2, положим a=0.учитывая непрерывность y, соотношение (12)справедливо даже для этого значения a.: Они 2К Наконец-то!, Р 1te_yd сөз Ах*LCH Таким образом, дифференциация [см.(I)] является: Ноль ноль х з ш А х___эти Лаа/га+л:2 и Х-2е («> « )•

Замечание об интегралах с конечными пределами	Эйлеров интеграл первого рода
Механические приложения поверхностных интегралов первого типа.	Эйлеров интеграл второго рода