Оглавление:
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных 
и 
(замену переменных) как
Если функции (53.9) имеют в некоторой области 
плоскости 
не прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
а функция 
непрерывна в области 
, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат и полярными координатами 
и 
.
В качестве 
и 
возьмем полярные координаты и . Они связаны с декартовыми координатами формулами 
(см п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как
Формула замены переменных (53.11) принимает вид:
где — область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами 
и 
, где 
, и кривыми 
и 
, где 
, т. е. область правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном .
Замечания.
- Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид
, область есть круг, кольцо или часть таковых. - На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены ,
; уравнения линий, ограничивающих область , также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области в область не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по и (исследуя закон изменения и точки 
при ее отождествлении с точкой 
области ).
Пример №53.2.
Вычислить 
, где область — круг 
.
Решение:
Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:
Область в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) 
. Заметим: область — круг — преобразуется в область — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Масса плоской пластинки |
| Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах |
| Приложения двойного интеграла |
| Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах |
