Оглавление:
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси
:
,
.
Применим схему II (метод дифференциапа).
1. Через произвольную точку проведем плоскость
, перпендикулярную оси
(см. рис. 187). Обозначим через
площадь сечения тела этой плоскостью;
считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении
. Через
обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости
. Будем считать, что на отрезке
величина
есть функция от
, т. е.
.
2. Находим дифференциал функции
. Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось
в точках
и
, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием
и высотой
. Поэтому дифференциал объема
.
3. Находим искомую величину путем интегрирования
в пределах от
до
:
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30053.png)
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Пример №41.6.
Найти объем эллипсоида .
Решение:
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии
от нее
, получим эллипс (см. рис. 188):
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30061.png)
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30066.png)
Площадь этого эллипса равна
. Поэтому, по формуле (41.6), имеем
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30072.png)
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией
, отрезком
и прямыми
и
(см. рис. 189). Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси
, проведенной через произвольную точку
оси
(
), есть круг с радиусом
. Следовательно,
.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30083.png)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми
, то объем тела, образованною вращением этой трапеции вокруг оси
, по аналогии с формулой (41.7), равен
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30085.png)
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30086.png)
Пример №41.7.
Найти объем тела, образованною вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси
(см. рис. 190).
Решение:
По формуле (41.8) находим:
![Вычисление объема тела](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-30093.png)
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Вычисление площадей плоских фигур |
Вычисление длины дуги плоской кривой |
Вычисление площади поверхности вращения |
Работа переменной силы |