Оглавление:
Рассмотрим примеры вычисления объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла.
Пример №30.1.
Найдите объем цилиндрического тела, изображенного на рис. 30.3, ограниченного сверху поверхностью , снизу — плоскостью
, с боков — плоскостями
.
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49066.png)
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела, будем использовать формулу: .
В нашем случае . Область интегрирования
, что хорошо видно на рис.30.3., представляет собой фигуру на плоскости
, ограниченную прямыми
, т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объема данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49061.png)
Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49062.png)
где .
Таким образом, .
Вычислим полученный повторный интеграл:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49067.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49068.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49069.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49070.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49071.png)
В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
Пример №30.2.
Найдите объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу — областью
плоскости
, представляющей собой прямоугольный треугольник, образованный координатными осями и прямой
.
Решение:
В силу геометрического смысла двойного интеграла от неотрицательной функции, для нахождения объема цилиндрического тела будем использовать формулу:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49076.png)
Вычислим двойной интеграл по области
. Для этого построим область интегрирования
в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Составим уравнение прямой
с угловым коэффициентом:
. Построим эту прямую по двум точкам:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49079.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49086.png)
Изображённая на рис. 30.4. область интегрирования является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49080.png)
В нашем случае .
Найдем как абсциссу точки пересечения прямой
с осью
, решив уравнение:
. Получим
, значит
. Следовательно,
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49085.png)
Вычислим полученный повторный интеграл:
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49087.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49088.png)
![Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-49089.png)
В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: