Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

Оглавление:

Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Как известно, статический момент K точки массы m относительно одной оси равен произведению расстояния точки от оси на массу m. масса f«b …«для системы из n материальных точек с m# расстояние ei e% от оси и eo находятся в той же плоскости, что и ось, соответственно, и статические моменты представлены в виде суммы. Я В этом случае расстояние точек на одной стороне Оси получается знаком плюс, а расстояние противоположной точки-знаком минус. Если масса не сосредоточена в отдельных точках, а расположена непрерывным образом, заполняющим линию или плоскую фигуру, то для представления статического момента требуется Интеграл, а не сумма. В ней описывается определение статического момента Kx на оси x массы, расположенной вдоль плоской кривой AB (рис. 90).

В этом случае будем считать, что кривая однородна, поэтому ее линейная плотность p (то есть масса на единицу длины) постоянна. Людмила Фирмаль

Для простоты предположим, что p = 1 (в противном случае вам нужно только умножить полученный результат на p).При этих допущениях масса дуги кривой просто измеряется ее длиной, а понятие статического момента приобретает чисто геометрический характер properties. In в общем случае, если мы говорим о статическом моменте (или центроиде) кривой, мы имеем в виду статический момент (центроид), который всегда определяется точно в соответствии с вышеуказанным предположением, не упоминая о распределении масс вдоль него. Снова выделите определенный элемент кривой (его масса также выражается в количестве кривых).

Аппроксимация этого элемента как существенной точки на расстоянии y от оси дает выражение, обусловленное его статическим моментом. Суммируя эти основные статические моменты, » и, в случае независимых переменных, получаем дугу 5, которая отсчитывается из точки А. КХ = \ Сде. Да. момент для оси y представлен аналогично Восемь К у = $ Х + Y $.О Конечно, здесь предполагается, что y (или x) представлено l. In эти формулы, по сути, через переменные I, x или 0 представляют собой 5, а в аналитическом выражении играют роль независимых кривых. Откуда (Д） Статические моменты кривых Kx и Ku позволяют легко установить положение центроида C ($,^).

Точка С обладает тем свойством, что если сосредоточить всю»массу» кривой (обозначаемой одинаковым числом длин), то момент этой массы для любой оси совпадает с моментом кривой для этой axis. In в частности, с учетом момента кривой относительно координатных осей. Из формулы для вертикальной координаты ^® центра тяжести мы получаем хорошую геометрическую result. In факт, мы Пять 1) 5 = \ г аз、 Да. Откуда Пять 2Ш » 8 = 2tr ^ УГ \ О Но правая часть этого уравнения представляет собой площадь поверхности^ [205, (6)], полученную при вращении кривой AB, а левая часть уравнения 2ш показывает окружность, описываемую центроидом кривой при вращении вокруг оси x, где$-длина окружности. curve. So он достигнет следующего Хоу льдины теорема)’.

Размер поверхности, полученный при вращении кривой вокруг непересекающейся оси, равен длине дуги этой кривой, умноженной на окружность, описываемую центроидом кривой (рис. 90). Ниже приведен пример: 1) с помощью теоремы Гульдина определить положение центра тяжести дуги AB окружности с радиусом r (рис.91). Поскольку эта дуга симметрична относительно радиуса OM, проходящего через ее середину m, ее центроид C находится на этом радиусе, и чтобы полностью определить положение центроида, вам просто нужно найти расстояние 1) от центра O.

Эта теорема позволяет установить координату центроида кривой (m), если известны длина кривой (s) и площадь повернутой плоскости (0). Людмила Фирмаль

Выберите ось, как показано на чертеже, а длина дуги AB представлена ««и ее код AB (=AB’) L. из вращения рассматриваемой дуги вокруг оси x мы получаем шаровой пояс с площадью поверхности [n * 205, 1)] Как 0g, GN. By теорема Та же поверхность Гульдина равна 2m] 5, поэтому 5m) = rA и 1}= -^ -. Два В частности, полукруг A = 2r, s = m и m)—r = 0,637 г. Я 2) определить центр тяжести циклоидной ветви (рис. 361 на стр. 79）： х = а {1-НН 0 » г = а (\ГП*) (0 ^ * ^2π). Учитывая симметрию,$ = Пример 2) Когда вы получаете результат n * 205, вы можете легко получить его следующим образом:^ = a.

Схема применения определенного интеграла.	Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.
Площадь поверхности вращения.	Механическая работа.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.