Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси

Оглавление:

Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси

Отсутствие рациональных чисел для измерения сегмента числовой оси. Согласитесь, что линия называется числовой осью, где выбирается точка O (начало отсчета), отрезок шкалы OE, длина которого равна единице, и положительное направление (обычно от O до E). Очевидно, что каждому рациональному числу соответствует

определенная точка на числовой оси. На самом деле, из курса средней школы известно, как построить сегмент, длина которого равна 1/n части длины сегмента шкалы OE(где n-произвольное положительное целое число). Поэтому можно также построить отрезок, длина которого относится к длине отрезка шкалы как t / N.

Если поместить такой отрезок из точки O вправо (влево), то рациональное число t/n- Людмила Фирмаль

-t/n}(рис. 2.1).32 Глава 2 реалы Обратите внимание, что не все точки M числовой оси соответствуют рациональным числам. Например, если вы выбираете точку M так, что длина отрезка OM равна диагонали квадрата, который является первым баром, то шкала длины отрезка OE является пифагорейской, но это означает, что указанная точка M не соответствует рациональному числу. И, и, 1-О—_ _ _ _ о-1_0-1 и 1— __

> — О I 1и «1>О-О- — — — — — — Р-1 1■» 1.Л И Р Р М -» » м2 [-^) о Е. М, (Ш)0Е Н РМ. Рис 2.1 рис. 2.2 Конечно, расширяя набор рациональных чисел, так что каждая точка в нескольких строках соответствует более широкому набору чисел (или, что эквивалентно, большему набору чисел). Попробуем сопоставить строго определенное число

бесконечностей, измерив отрезок в каждой точке M числовой оси. Пусть M-любая точка числовой оси. Давайте запустим процесс измерения отрезка ом, используя данные сегмента оригинального. Во-первых, давайте посмотрим, сколько раз весь сегмент шкалы помещается в сегмент OM*. Есть два случая: * Благодаря аксиоме Архимеда для сегмента, независимо от того, что представляют собой два сегмента AB и CY, один из этих сегментов один и тот же. 1)отрезок ое укладывается в отрезке ом целое число А0 раза * с некоторыми оставшимися мм,меньше оригинального(рис. 2.2). В этом случае це

лое число AO является результатом измерения дефекта с точностью до 1. 2) отрезок OE соответствует отрезку OM целое время AO без t A T K A o. в этом случае процесс измерения можно считать завершенным, а рациональное целое AO считается длиной отрезка Ohm. Формально можно сказать, что в этом случае точка m соответствует бесконечно малому числу.АО ИНК.. Он идентифицируется целочисленным рациональным AO — §1. Набор чисел, представленных бесконечным числом дробей. В первом случае мы продолжаем процесс измерения и видим, сколько 1/10 сегмента шкалы OE помещается на сегмент KM(остальная часть измерения с использованием всего сегмента

OE) 1/10 OE помещается на сегмент KM a\times с некоторым оставшимся Людмила Фирмаль

PM и менее 1/10 OE (см. диаграмму). 2.2). В этом случае рациональные числа AO, A\являются результатом измерения ом в невыгодном положении с точностью 1/10. 2) 1/10 ОЭ вписывается в отрезок км целым числом i1 раз без О С Т А Т К а. в этом случае процесс измерения можно считать завершенным,а рациональные числа АО, А1 считаются длиной отрезка ом. Формально в этом случае можно сказать, что точка m соответствует бесконечно малым числам AO, y1ooo…Определяется рациональным числом АО.Ш. Продолжая эти рассуждения далее, 1) в связи с тем, что точка m соответствует

рациональному числу 00.0102, заявленный процесс измерения заканчивается на n-м шаге..AP (в этом случае точка m соответствует бесконечно малой части 00.0102… 000… Это мы identify.In рациональное число AO,\A2… AP); 2) или описанный процесс измерения никогда не останавливается и получает бесконечную последовательность рациональных чисел A0…; АО\А2… АР.; . . , (2.1) результат измерения на дефекте сегмента ом выражается с точностью до 1… ,- y^ -, •••*каждая из последовательностей числа (2.1) может быть получена путем развязки соответствующего знака бесконечного числа А0, а [А2… АР.. (2.2) следовательно, для 2) Точка M числовой оси

соответствует четко определенному бесконечно малому числу (2.2). Можно сказать, что в случае 1) точка M встречается с бесконечно малой точкой (2.2), но в данном случае вся эта дробь-число десятичных знаков, большее n, равное нулю.. 000…. Вышеприведенное рассуждение применимо, если точка M находится слева от точки O, и только в этом случае предполагается, что все элементы последовательности (2.1) и бесконечно малое число имеют отрицательный знак. Таким образом, описанный нами процесс измерения позволяет поставить четко определенное инфинитивное подчисло в соответствии с каждой точкой M числовой оси. Речь идет о- 2 Зах 7234 Глава 2. Действительное число Это естественно приводит к необходимости рассматривать число, представленное бесконечно

малым числом. Конечно, описанный нами процесс измерения отрезка OM может быть скорректирован, чтобы привести к рассмотрению бесконечно малого числа или меньше,но желание рассмотреть бесконечно малое число, например, вызвано только особой ролью, традиционно играемой десятичной системой счисления. Развитие электронно-вычислительной техники привело к тому, что эти немногочисленные системы (в силу конструктивных особенностей компьютеров) стали более удобными в практике использования компьютеров.

Некоторые конкретные множества вещественных чисел	Свойства рациональных чисел
Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел	Обобщенное уравнение замкнутости