Обобщенная теорема о конечных приращения

Оглавление:

Обобщенная теорема о конечных приращения

Обобщенная теорема о конечных приращениях. Коши обобщил конечную инкрементную теорему, которая была доказана в предыдущем выпуске, следующим образом: Теорема Кощея. Пусть: 1) функции f (x) и^(: c) непрерывны на замкнутых интервалах[a, b]. 2) по крайней мере, в открытом интервале (a, b)\ 3)$(x) 0 интервала (ay b) существуют конечные производные f ’(x) и (x)>. Тогда есть точка c между a и B. (5） /(Б)-/(а)= _ / ’(с） * ）- $（ «）К© .

Это выражение называется выражением Коши. Людмила Фирмаль

Доказательство. Во-первых, мы устанавливаем, что знаменатель в левой части уравнения не равен нулю. В противном случае выражение не будет иметь смысла. В силу ролевой теоремы производная$ ’(x) в средней точке равна нулю и противоречит условию 3).Таким образом,§(б) ЗМИ$(а). Теперь рассмотрим вспомогательные функции Р(Х)= Ф(Х) ф(а)-[(>-ЕЭК)].

Эта функция удовлетворяет всем условиям роли theorem. In факт, поскольку f (x) и^(x) смежны, P(x) смежно с[a, b].Производная P ’(x) существует в(a, b). другими словами、 Р () = Ф’ <） т. 8(Б) §(а） Наконец, по прямому назначению мы можем видеть, что P (a)= P (b)= 0.Используя приведенную выше теорему, мы приходим к выводу, что между a и b существует точка c, где P ’©= 0. е ’(х)= о、 Г(л т-т) Т к)э(б) е(） Или * е ’ & г 1к)~~ * <）-（ «） разделив на $ (s) (это возможно от 0), получим: Требуется равенство.

Ясно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Людмила Фирмаль

To получить выражение конечного приращения из выражения Коши, используя^(n:)=. напр.. Теоремы 101, 102 и 104 показывают удельное среднее значение независимой переменной под знаком derivative. It а производные, в некотором смысле, дают среднее значение value. In в связи с этим все эти теоремы называются «теоремой о среднем значении».

Теорема о конечных приращениях.	Формула Тейлора для многочлена.
Предел производной.	Разложение произвольной функции.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.