Разложение произвольной функции

Оглавление:

Разложение произвольной функции

Разложение произвольной функции. Теперь перейдем к рассмотрению произвольной функции f (x). не является ли это целочисленным многочленом, но определенным на определенном интервале?？Это означает, что, точнее говоря, функция имеет производную от всех порядков вплоть до (n-1) го. / ’（）、/ «（）、/» М. / < «>М В некоторой окрестности точки X, далее, точка x0 * * имеет производную N-го порядка/(π) (πο).Затем вы можете настроить полином для функции/(x) в соответствии с моделью(5). Пн М = / М)+ Т + С — »)* + (6） Согласно предыдущему комментарию, этот многочлен в точке g: 0 и его производная (до n-го) имеют то же значение, что и функция/(x) и ее производная. Однако на этот раз вы не можете утверждать равенство f (x)= pn (x), если функция f (x) сама не является целочисленным полиномом N-го порядка.

Полином pn(x) дает только приблизительное значение функции f(x). Людмила Фирмаль

Это позволяет рассчитать с некоторой степенью точности accuracy. In в связи с этим, будет интересно оценить разницу РН(Х)= ф(х) ПЯ(х）、 Или рН()= Ф(Х)/ («) Φφ(х -.) «(7） 5С конкретных X и этот пункт Формула rn (x), написанная для этого, не полезна purpose. To представив его в удобной для исследования форме, необходимо наложить на функцию/(x) более сложные условия, чем непосредственно необходимо для составления самого полинома pn(x).То есть в дальнейшем будем считать, что для функции/(x), & (η-(-1)) существуют все производные вплоть до th включительно. / ’(). Р(х),… /(Н) (Х), ф(п + 1)(х). ？（）= /（）-/（）-φ (х-р） Г (г) 2! С) 04 Г * ’ (г） н \ (х-Д.

Теперь мы модифицируем значение x из интервала, и вдоль модели в правой части выражения (7) мы заменяем константу Xo переменной r, чтобы создать новую вспомогательную функцию. Кроме того, мы предполагаем, что независимая переменная r будет изменяться на интервале[n0> x]*)•в этом интервале функцияp^® непрерывна и принимает значения на обоих концах[см. (7）]： ПК * О)= Л(). 9 (x)=0.(8） Кроме того, интервалы (x0, q) имеют производные В ()= -/ ’(р)-[φ(х-р)-/’(р）]* ) Для уточнения предположим, что x> x9. Или после упрощения、 * ’(*) =/ * * + «(г) н \ (9 )） Если взять другую функцию φ ^®, непрерывную в интервале[LGO, x]и имеющую несмываемую производную в открытом интервале (l:©, q), то можно применить функцию pairp ^®, f (g) уравнения каучи[n°104].

C находится между XY и Х>. То есть, рассмотрим(8)и(9)и выясним отсюда. ’• «(*) = + ’ *） с = * 0 + 0 С * Хм)(0 0 1). ■(с)(10） т (о)-9(х） Во-первых, выберите функцию$^®, которая выглядит следующим образом: Φ (р)= {х-р)п + Для этого выполняются условия, созданные выше. <|>(* О)= (О)я + Я «(х)= 0, φ’©=-(я + 1)(х-с) н. Если вы назначите это (10), то в конечном итоге это будет выглядеть так: (И） Р » = БТ + $»(х Здесь, учитывая (7) и (11), функция/(x) может быть представлена следующей формулой /（•）= /（• «）+ ПП (х -■«)+(х〜■) + (12） + … + ^ {х-XoG + ^(х-хо Р * Она отличается от формулы Тейлора многочленов тем, что существует дополнительный член (11). Форма дополнительного термина (11) относится к LaGrange.

In в этой форме дополнительный член аналогичен следующему нормальному члену в Формуле Тейлора, но вместо вычисления второй производной в точке x (n-[-1), эта производная используется для значения c в среднем (между x0 и x). Выражение (12) называется выражением Тейлора, и оно добавляет член в форме Лагранжа. Поместите/(x0) влево и поместите x-x9 = Ax, он будет переписан следующим образом: 4/4 * 0） •* Г Эта форма является прямым обобщением выражения конечного приращения[n°102,(4）] Д / (*О)= / С *«+ Д *)-/ С * О)= Т(х)•Д.Это соответствует l = 0.

Дополнительные термины в Лагранжевой форме, в простом смысле, есть много желания, но все же, эта форма может не подходить для оценки дополнительных терминов, приходится полагаться на другие формы, которые не просты. Людмила Фирмаль

Из них мы упомянем здесь дополнительные члены в форме Коши. Теперь$^®= x-r берется из(10). Φ (х0)= х-х0> () = °>φ ’©= −1 И с тех пор (x-C) n = [x-x o-e (*g0)] n =(1-b) «(x-x0) n для достижения следующего конечного выражения. Г» ( * ) = / ’Л+ «{Хс + п!(Х〜Хо)) (1-в) » (X-Х1Г1).(13 )） Несмотря на потерю знаменателя фактора n {-1 (по сравнению с Лагранжевой формой), эта форма может быть точной, так как в ней есть фактор (i — 0) i. Уравнение Тейлора, содержащее дополнительные члены в одной из указанных форм, является, как вы можете видеть, другой теоремой о среднем значении. C и B также показаны здесь.

Обобщенная теорема о конечных приращения.	Другая форма дополнительного члена.
Формула Тейлора для многочлена.	Приложение полученных формул к элементарным функциям.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.