Оглавление:
Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности
- Среднее арифметическое значение. Повторите измерение несколько раз, чтобы получить серию измеренных величин. В большинстве случаев эти значения отличаются друг от друга, но если измерения выполняются в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, они заслуживают одинаковой уверенности. Чтобы приблизиться к истинному значению измерений, необходимо выполнить серию Среднее арифметическое ** результатов наблюдений рассчитывается по следующей формуле: — = 1 + a + X. + — + * l I- ((UP 5).
Где х — это среднее значение. Результаты одного наблюдения. р — количество наблюдений. Кроме того, предполагается, что в результатах наблюдений нет систематических ошибок. Давайте установим, что охватывает это значение и насколько оно тщательно. Styodent — это псевдоним английской статистики Госсета. Кроме того, среднее арифметическое называется аббревиатурой Многие наблюдения можно записать так: x1 = a + 81 Ха = а + 6, ха = а + 83 xa = a + 5 2×1 = pa + 284. (U11.6) Где a — истинное значение измеренной величины или математическое ожидание M (x) случайной величины. b i-я ошибка измерения.
Поэтому чем выше требуемая точность измерительного прибора, чем он массивнее и дороже, тем выше требования к условиям его использования. Людмила Фирмаль
Теория вероятностей установила, что алгебраическая сумма всех случайных ошибок стремится к нулю (ПИ-7) Чем больше выполненных измерений, тем больше эквивалентность (VII.7). Когда уравнение (UP.7) подставляется в уравнение (UP.6): Откуда (UP.8) Другими словами, среднее является истинным приближением. Опыт показывает, что при запуске новой серии постоянных величин в тех же условиях новое среднее значение очень близко к исходному значению. Отклонение от среднего Это известно из формулы случайной ошибки (UP.1). Принимая среднее значение х вместо V, = x, -x, Где r 1 — отклонение i-го наблюдения от средней шкалы *.
Все величины, содержащиеся в этом уравнении, известны, и могут быть выполнены необходимые расчеты. Существует некоторая разница между средним значением х и истинным значением, которое нам неизвестно И Я точный Отклонение от среднего арифметического или явной ошибки (VII.10) Примите ошибку b, используя среднее арифметическое измеренной величины в качестве конечного результата серии измерений. Эта ошибка носит случайный характер и обычно распределяется, но параметры разные. Значение b называется случайной ошибкой среднего арифметического наблюдений, а в отличие от 6 оно называется случайной ошибкой наблюдений.
Вычтите уравнение (UP.9) для каждого члена из уравнения (VII.1) и рассмотрите уравнение (U.10) 8, -4 = Г — а = 8Г. Поэтому, используя отклонение от среднего арифметического V ^ вместо случайной ошибки 6, примите ту же ошибку, что и при замене истинного значения a на среднее арифметическое x. Есть две очень важные характеристики отклонения от среднего. Если сумма случайных ошибок приблизительно равна нулю, уравнение 0711.7) , то в отношении отклонений от среднего значения может быть установлено следующее положение. 1.
Алгебраическая сумма отклонения от среднего равна нулю. Давайте докажем это: ба = хб-х Y = Xn-X Из равенства (УП.5) 0TKUZ b 0. (VII.11) Это уравнение всегда верно, если при вычислении среднего арифметического не выполняется округление. Когда происходит округление, вы всегда можете оценить, насколько отклонение от нуля соответствует этому округлению. 2. Сумма квадратов отклонений от среднего имеет наименьшее значение (VII.12) Это принимает другие числа вместо среднего арифметического, так что при определении отклонения каждого наблюдения Чи сумма квадратов этих отклонений всегда больше, чем сумма квадратов отклонений от среднего Надо понимать.
- Указанное свойство суммы квадратов отклонений от среднего арифметического от x не зависит от того, больше или меньше другие числа, взятые вместо x. Пример 1. Обработка 10 наблюдений (Таблица 11). Первый, второй и третий столбцы показывают значения для вышеуказанных величин, а четвертый столбец показывает отклонение от конкретного значения, которое отличается от среднего значения отдельных наблюдений. Квадрат этих значений отклонения в пятом столбце.
Как видно из таблицы, более 2 секунд HoA Таблица 11 5304,5 0,09 —0,2 0,04 5305,2 + 0,4 0,16 + 0,5 0,25 5304,3 — 0,5 0,25 — 0,4 0,16 5304,9 + 0,1 0,01 + 0,2 0,04 5 304,8 0 0 + 0,1 0,01 5305,0 + 0,2 0,04 + 0,3 0,09 5304,6 —0,2 0,04 1o, 1,01 5305,1 + 0,3 0,09 + 0,4 0,16 5304,7 —0,1 0,01 0 0 5304,9 + 0,1 0,01 + 0,2 0,04 Her 1 = 0 21 = 0,70-0,80 х = 5304,8 (+ 1,1-1,1) (+ 1,7-0,7) Расчет среднего арифметического и отклонения от него путем замены среднего Любое число В некоторых случаях вычисление среднего арифметического путем суммирования всех отдельных результатов неудобно и обременительно. Этот расчет может быть легко сделан: Выберите число, близкое к среднему арифметическому, без вычисления среднего. Выражается как Y и рассчитывается для каждого наблюдения-отклонения от значения x 10, = X x .
Требуется идеальное соответствие между уровнем точности изделия и достижимой точностью измерительного прибора. Людмила Фирмаль
Суммируйте все n наблюдений и разделите на n. Они Так как это среднее арифметическое, (VII.13) Вот пример определения среднего арифметического описанного метода: Пример 2. Вам нужно найти среднее арифметическое следующих 15 чисел: 798, 796, 803, 795, 804, 789, 801, 791, 794, 809, 806, 792, 807, 800, 797. Для расчета выберите число 800 и все данные. Номера расположены в порядке возрастания. +789 +791 +792 795 +796 +797 +798 По формуле (УП.13) х = 800- = 798,8. Как видите, этот метод упрощает расчет даже для относительно небольших чисел.
С помощью описанного метода вы также можете рассчитать отклонение от среднего арифметического, используя och — произвольно выбранное отклонение от x. Подставляя найденную формулу (VII.13) в среднее арифметическое и подставляя ее в формулу (UP.9) 1 = X1-X = X (-x — x * —x = и Эта формула может быть использована для определения отклонения от среднего. Подумайте, как найти понятие Ho, -2. Возведите в квадрат квадрат (VII.14) и суммируйте все значения в n измерениях. Затем сложите второе и третье слагаемые в правой части уравнения, Bo, 8 = Bsh, — (VII.15).
Таблица 12 -…. 789 11 9,8 121 -107,8 791 9 7,8 81 70,2 792 8 6,8 64 54,4 794 6 -4,8 36 28,8 795 5 3,8 25 19,0 796 2,8 11,2 797 3 1,8 9 5,4 798 2 0,8 4-1,6 800 0 1,2 0 0 80 1-2.2 1-2.2 803 3 4,2 9-12,6 804 5,2 16-20,8 806 6-7,2 36-43,2 807 7-8,2 49-57,4 809 9 1-10,2 81 91,8 ~ = 798,8 1a ; = -18 прогиб + 38,4 ад = 548 Schr-548 526 4 = ад Ea (-15 ~ 1 2 -g-5203 Найдите значение Бо-2 другим способом. Умножьте на равенство (VII.14). Определите это уравнение для n наблюдений и сложите их вместе, Поскольку полное отклонение от среднего равно нулю, то есть Bo = 0, Уравнения (VII.15) и (VII.16) используются для расчета суммы квадратов отклонений от среднего арифметического и для контроля точности расчетов относительно друг друга. Продолжая решение в примере 2, используя найденное выражение, найдите значение Xe. Результаты расчета приведены в таблице. 12.
Определение стандартного отклонения от экспериментальных данных Расчет среднеквадратичного отклонения путем измерения конечного числа n выполняется по следующей формуле *: 8 = Не цитируя заключение этой формулы, отметим, что она связана со второй характеристикой отклонения от среднего арифметического (см. Стр. 134). Не теоретический Если ошибка b = x — a, то Xg (-2 28 2, (VII.18).
Независимо от того, больше или меньше 2b, чем 2о . Появление в знаменателе радикального выражения формулы (VI 1.17) n — 1 связано с неравенством (VII.18). Другими словами, это связано с заменой теоретической случайной ошибки b, отклонением о от среднего арифметического измерения, которое связано с заменой истинного значения измерения и среднего арифметического наблюдения x. Это Определите стандартное отклонение от данных, приведенных в таблице. 12.
Смотрите также:
