Оглавление:
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости 
и 
:
Под углом между плоскостями и понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол 
между нормальными векторами 
и 
плоскостей и равен одному из этих углов (см. рис. 72). Поэтому 
или
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости и перпендикулярны (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. 
(и наоборот). Но тогда 
,
т. е. 
. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей и .
Если плоскости и параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали 
и 
(и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: 
. Это и есть условие параллельности двух плоскостей и .
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка 
и плоскость 
своим уравнением 
. Расстояние 
от точки 
до плоскости находится по формуле
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки 
до прямой 
(см. с. 73).
Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции вектора 
, где 
— произвольная точка плоскости , на направление нормального вектора 
(см. рис. 74). Следовательно,
А так как точка принадлежит плоскости , то
, т. e. 
.
Поэтому 
. Отметим, что если плоскость задана уравнением 
, то расстояние от точки до плоскости может быть найдено по формуле
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Парабола |
| Общее уравнение линий второго порядка |
| Уравнения прямой в пространстве |
| Прямая линия в пространстве |
