Оглавление:
Понятие определителя
- Детерминантное понятие. Думай о любом квадрате Матрица произвольного порядка n: A = «12 flln 2n «21» 22 «Nl an2 ••• & nn А.8) Каждая такая матрица имеет четко определенное числовое значение. Соответствующая характеристика называется определителем Матрица. Если порядок n матрицы A.8) равен 1, эта матрица Состоит из одного элемента гриппа и определителя первого порядка, Вызовите значение этого элемента в ответ на такую матрицу.
- Кроме того, если порядок n матрицы A. 9) Затем квадратичный определитель, соответствующий такой матрице, Назовите номер, равный гриппу «22 ~» 12 ^ 21 Крупный рогатый скот 4) А = дет А- L = ах fl21 «22 , Так по определению «11» 12 «21» 22 — «А» 22 ~ П.10) Формула A.10) является определяющим правилом подготовки Второй порядок соответствующего матричного элемента.
8) равен 2, то есть эта матрица Имеет форму «А12 «21» 22 A = A. Людмила Фирмаль
Surobo 4) Не используйте double для указания определителя, в отличие от определителя Единственная черта, единственная черта. Формулировка этого правила следующая: Вторичные детерминанты Ка, соответствующая матрице А.9), равна разности произведений Произведение с основным диагональным копом этой матрицы Элементы 5) стоящие по диагонали.
В дальнейшей презентации мы поговорим об элементах ках или определяющий столбец, означающий эти термины Следовательно, элемент, строка или столбец, соответствующие этому определению Матричный делитель. Давайте перейдем к разъяснению концепции любого детерминанта. Строка η, где η> 2. вводит понятие такого определителя.
Однако, учитывая, что мы уже ввели понятие определителя порядка n-1, Соответствует любой квадратной матрице порядка n-1. Согласитесь назвать майнер любого элемента матрицы переменного тока n-й порядок A.8) определитель соответствующего порядка n-1 Полученная матрица из матрицы А.8) i-я строка и j-й столбец (эта строка и ее столбец, На пересечении есть элемент ac).
Незначительный элемент AC Обозначается символом М В этой записи верхний индекс Прочитайте номер строки, внизу номер столбца, тире над М Указанная строка и столбец будут удалены. Определитель степени n, соответствующий матрице A.8) ^^ = 1 (вызывает число, равное -lI + JaiJMJ- D = detA = A.11) Так по определению L = a12 ар2
Формула A.12) является правилом определения детерминанты отсортировать n по элементу в первой строке матрицы, соответствующей n 5) Основная диагональ квадратной матрицы Квадрат от верхнего левого до нижнего правого угла (то есть Ци А.9) -apogg), и вторичная диагональ снизу слева направо.
В соответствии с указанным выше углом (т. Е. Для матрицы A.9) и второстепенным Mj элемента в первом ряду, Люди в порядке н-1 Если n = 2, правило A.12) Правило А.10). В этом случае второстепенный элемент в первом ряду tt1-tt1 Формат выглядит следующим образом: m1 = a22, ^ 2 = a2b Возникает вопрос, можно ли, конечно, использовать Определитель А.11) Элемент и соответствующее младшее значение.
Произвольная r-ая строка A.8) матрицы, а не первая строка. Ответ на этот вопрос Вопросы задаются следующей теоремой: Теорема 1.1. Если номер строки r (r = 1, 2, …, n) Уравнение 6) определителя n-го порядка A.11) верно N D = detA = ^ (-1) * + ‘a ^ M *, A.13) j = я Это расширение называется расширением этого определителя в i-й строке. Замечания. В этой формуле показатель степени.
Кроме того, числовое значение (-1) идет до общего номера строки, На пересечении столбцов находится элемент ac. Доказательство теоремы 1.1. Формула А.13) Отображать только для числовых значений r = 2, 3, …, n 7). Для n = 2 (т.е. Квадратичный определитель) Это уравнение нужно только доказать Если число r = 2, т.е. n = 2, просто докажите формулу 2 A = detA = ^ (-1J + ^ -m5 = -a21 ~ M \
Действительность этого последнего выражения следует непосредственно из выражения 2 2 Mx-ai2, M2 = ac, для матрицы A.9 минор Здесь правая часть этого уравнения соответствует правой части A.10). Итак, если n = 2, теорема доказана. Доказательство уравнения А.13) для любого п> 2 выполнено По индукции, то есть для определителей порядка n-1.
Выражение вида A.13) разлагается на любую строку, и Исходя из этого, мы проверяем правильность формулы A.13) Порядок делителей n. Для доказательства требуется понятие матрицы второстепенных А.8) Заказ n-2. Определитель порядка n-2 Исходя из матрицы А.8) 6) п ^ 2 по смыслу теоремы. 7) Когда r = 1, правая часть А.13) по определению равна detA.
Сотрите две строки чисел i \ и% 2 и два столбца чисел рами ji и j2 называются (n-2) следующим несовершеннолетним, Символ М ^ 2. Определитель n-го порядка вводится уравнением A.12). В этой формуле каждый минорный Mj является определителем порядка ка п-1. Это основано на предположении, что А.13) Произвольное расширение линии.
- Зафиксируйте любое число i (i = 2, 3, …, n) и разверните в форму Мул A.12). Каждый несовершеннолетний M M в i-line основного определения A.11) (Для младшего Mj эта строка (r-1) st). В результате весь определитель A отображается в следующем формате: 8) (n-2) Незначительная линейная комбинация порядка Mjk Числа j и i не совпадают, т.е.
9) Чтобы вычислить коэффициент 6jk, младший Mjk равен Разложение по (р-1) -ому ряду только следующих двух 10) Следующий (n-1) младший, соответствующий элементу в первой строке Матрица А.8): Незначительные Mj и Незначительные Mk (только эти два несовершеннолетних).
Первый элемент строки содержит все столбцы минорного младшего Mjk. Людмила Фирмаль
Развитие указанных (р-1) миноров Mj и Mk Пишите только термины, включающие ке минор М жк (остальное не Термины, которые представляют интерес, обозначены многоточием). Когда дано Кроме того, элемент aik младшего Mj должен находиться на пересечении (r-1) -й строки И (k-1) n-й столбец этого минорного n), и элементы Mk ac minor На пересечении (r-1) -го ряда и j-ro столбца этого минора 12)
8) Помните, что линейная комбинация величин называется суммой Эти количества продуктов составлены некоторыми действительными числами. 9) Малый Mjk совпадает с Mkj, поэтому проверьте всех майнеров (N-2) Изменить степень заданной строки с номером 1 y, j с 1 на n, Каждый j использует все возможные k j.
Мы получаем M) = (-1) (* -1) + (* -1) a ^; + .-. , А.15) m \ = (-l) (i-1) +% iiMjL + … A.16) Вставьте A.15) и A.16) справа от A.12) и соберите коэффициенты Mjk, коэффициент 0jk в уравнении A.14) как Ojk = (-l) il + i + j + k) [aljaik-alkaij]. П.17) Покажите правильность для завершения доказательства теоремы Часть А.13) равна и равна сумме правой части А.14) Само значение А.17 0jk.
Для этого разверните каждый несовершеннолетний справа от п.13) (N-1) Mj на первой строке. В итоге ладно Часть А.13) представлена в виде нескольких линейных комбинаций Коэффициент Ойка того же минора Мйк VL *> (L18) 3 = 1 k <j И рассчитаем коэффициент Ойка, Формула А.17) для них. По этой причине обратите внимание, что минорный Mjk получается в результате разложения.
Первый ряд только (n-1) -го следующих двух несовершеннолетних Порядок, соответствующий элементу в n-й строке матрицы A.8): Minor Mj И Mk minor (только эти два несовершеннолетних в i-м ряду Все колонны младшего минора Mjk собраны). В разложении несовершеннолетних Mj и Mk, Термины, которые включают в себя минор Mjk: (Остальное не интересно Обозначается эллипсом).
Учти это Незначительный M из ± k находится на пересечении первого ряда и (k-1). Это второстепенный столбец 13), а минорный М \ элемент a \ j стоит на пересечении Если вы читаете первую строку этого второстепенного и столбец j-ro 14) Mj = (-ly + C-Vau-Mjb + …, A.19) JK = (-l ^ + JoyMJj + … A.20) 13) Если j <k и минорный M * — нет j-го столбца матрицы A.8). 14) Незначительный Mj для j </ s. Отсутствует только k-й столбец матрицы A.8).
Вставьте A.19) и A.20) справа от A.13) и соберите коэффициенты Если вы используете Mjk, общий A.18) Ojk Та же формула А.17), что и равенство А.14). Теорема 1.1 доказана. Теорема 1.1 установила возможность разложения определителей. Порядок любого ряда. Вопрос возникает естественно Возможность разложения определителя n-го порядка по Колонна.
Следующий ответ является положительным ответом на этот вопрос. Основная теорема. Теорема 1.2. Независимо от размера столбца j (j = 1, 2, …, n) определитель n-го порядка A.11) N A = detA = ^ (-l) i + X-M *, A.21) г = 1 Это называется расширением этого определителя в j-м столбце. Доказательство. Достаточно доказать теорему j = 1. Устанавливает выражение декомпозиции первого столбца N D =? (-1) <+ 1aM * 1, A-22)
Для доказательства, если установлено уравнение A.22) Уравнение А.21) Для любого j = 2, 3, …, n достаточно изменить Буквально повторять схемы строк, столбцов и выводов Рема 1.1. Формула А.22) устанавливается по индукции. Если n = 2, это выражение в основном проверяется (n = = Два второстепенных элемента в первом столбце имеют вид Mx-a ^ i-, Mg =. = Если ai2, n = 2, справа от A.22) Матч справа П.10)).
Предполагая формулу разложения для первого столбца A.22 Истинно для определителя порядка n-1 и на основании этого Справедливость этого выражения для определителя порядка p. Для этого выберите и определите правую часть формулы А.12) Генератор n-го порядка A является первым членом acMg, Срок увеличивается первый минор (n-1) следующий Mj Колонна.
В результате формула А.12) имеет следующий вид l = a11m \ +? х> 1-м1; , (L23) Где Oij это какой-то фактор, который нужно определить. Для вас Ой, Минор М ± Дж (N-1) из первого ряда только один из второстепенных 15) навсегда на первой линии, -М- минор. Пиши в разборку В первом столбце Mi (j ^ 2) несовершеннолетний только термин Стая включает в себя минор М ^ (остальные условия, которые нам не интересны Показывает многоточие).
Один минорный элемент M j ( j ^ 2) Стоя на пересечении (r-1) -й строки и этого первого столбца Незначительно, получить с J ^ 2 M) = (-1 ^ — ^ + 1alm ) + … A.24) А.24) вставляется справа от А.12))) (первый и ) И коэффициенты М1 и J Форма коэффициента Oij в уравнении A.23) , П.25) A.22) осталось доказать, что правая часть равна сумме На правой стороне A.23), 0 ^ с тем же значением, что и A.25).
По этой причине в правой части A.22) выберите первый член acM15. В каждом оставшемся разделе разверните (n-1) -й младший Строка М1 первой строки. В результате правая часть A.22) отображается как следующая сумма. О линейной комбинации члена ACM1 и нескольких коэффициентов Согласно M ^ — ‘s (n-2) -й минорный фактор Oij, т.е. ailM \ + j ^ j ^ OijM1 ^ A.26) я = 2j = 2.
И осталось рассчитать коэффициент Оз и проверить его достоверность Формула А.25) для них. По этой причине отметим, что минор M ± j получается в результате разложения. Жить в первом ряду только один минор n-1 рядом, Соответствует первому столбцу — Minor Mx. Пиши в разборку Незначительный М: (если г ^ 2) в первой строке.
Незначительный M Xj включен (остальные условия, которые не представляют для нас Важный многоточие). Учитывая элемент aij, младший Mx 15) Кроме того, несовершеннолетний М1 должен быть исключен. На пересечении первого ряда этого второстепенного и (j-1) -го столбца, получено с г ^ 2 M \ = (-lJ ‘^ — ^ oyMy + … A.27) Включить А.27) справа от А.22) Собираем коэффициенты в терминах и М ^ Сумма А.26) определяется по той же формуле А.25) П.23). Теорема 1.2 доказана.
Смотрите также:
| Основные операции на матрицами и их свойства | Выражение определителя непосредственно через его элементы |
| Блочные матрицы | Теорема Лапласа |
