Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями

Примеры с решениями

Пример №219.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Решение:

Используя формулу Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями и полагая Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями запишем первое уравнение системы (1) в виде Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями откуда

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Из (2) и второго уравнения системы (1) находим Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямиАналогично, если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Пример №220.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Решение:

Допустимые значения Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями и Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями определяются условиями

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

При выполнении условий (5) систему (3), (4) можно записать в виде

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

С помощью замены Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями уравнение (6) приводится к квадратному уравнению Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями имеющему корни Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

1) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Подставляя Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями в (7), получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями имеющее единственный положительный корень Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями которому соответствует Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

2) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямито Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Подставляя Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямив (7), получаем биквадратное уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Полагая Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями приходим к уравнению Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямиПримеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Так как уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями не имеет действительных корней, а уравнениеПримеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями имеет единственный положительный корень Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямито пара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями образует решение системы (3), (4).

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Пример №221.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Решение:

Логарифмируя уравнение (8) по основанию Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями, получаем

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

откуда следует, что Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями где Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Это квадратное уравнение имеет корни Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

1) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями и значит,

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Используя формулу Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями запишем уравнение (9) в виде Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями откуда

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Из системы (10), (11) получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями не имеющее действительных корней.

2) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямито Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниямиоткуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Из системы (11), (12) следует, что Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями, откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями Так как Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями то значение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями следует отбросить, а значению Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями соответствует Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Примеры решения систем показательных уравнений
Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
Примеры решений систем тригонометрических уравнений
Алгебраические неравенства с примерами решения