Системы линейных уравнений с примерами решения

Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы линейных уравнений

Решение системы, равносильность и следствие, совокупность систем.

а) Будем рассматривать системы с двумя и тремя неизвестными (переменными). Систему двух уравнений с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения можно записать в виде

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Если левые и правые части уравнений системы (1) являются многочленами от Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения или их можно представить в виде отношения многочленов, то систему (1) называют алгебраической.

Решением системы (1) называется пара чисел Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, при подстановке которых соответственно вместо Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения каждое уравнение системы (1) становится верным числовым равенством. Множество решений системы может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений (несовместна).

Решить систему — значит найти все ее решения или установить, что система не имеет решений.

б) Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другим, более простым, которые мы умеем решать. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних для данной системы решений, которые могут появиться при преобразовании системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки.

Если в результате преобразований системы (1) получена система

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). Аналогично, уравнение

Системы линейных уравнений с примерами решения

называют следствием системы (1), если равенство

Системы линейных уравнений с примерами решения

верно для каждой пары чисел Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения. образующих решение системы (1).

Если система (2) является следствием системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы называются равносильными. Иначе говоря, системы называют равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие решений, являются равносильными.

Используя определения равносильности и следствия, можно утверждать, что:

1) если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение на равносильное ему, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной;

2) если к данной системе присоединить уравнение, являющееся следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной;

3) если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной.

в) При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения на одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в Системы линейных уравнений с примерами решенияю степень.

Сформулируем утверждения, связанные с этими преобразованиями, опустив в записи системы неизвестные.

1°. Система

Системы линейных уравнений с примерами решения

полученная почленным сложением и вычитанием уравнений системы (1), равносильна системе (1).

2°. Система

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

является следствием системы (1). Если же функции Системы линейных уравнений с примерами решенияи Системы линейных уравнений с примерами решения принимают неотрицательные значения в области определения системы (1), т.е. на множестве, где определены функции Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения, то система (3) равносильна системе (1).

3°. Система

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

является следствием системы (1). Если же не существует таких пар чисел Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, при которых обе функции Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения обращаются в нуль, то система (4) равносильна системе (1).

4°. Если не существует таких пар чисел Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения, при которых обе функции Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения одновременно обращаются в нуль, то система

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

является следствием системы (1), а при дополнительном требовании, что одновременно не обращаются в нуль функции Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения, система (5) равносильна системе (1).

Эти свойства преобразований систем, доказательство которых легко можно получить самостоятельно, широко применяются при решении систем с двумя и тремя переменными.

г) Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении систем уравнений.

Пусть система уравнений имеет вид

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Будем говорить, что система (6) равносильна совокупности систем

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

и

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть решение системы (6).

Это означает, что множество решений системы (6) совпадает с объединением множеств решений систем (7) и (8). Поэтому

вместо слов «система (6) равносильна совокупности систем (7) и (8)» говорят, что «система (6) распадается на системы (7) и (8)».

Обычно это понятие применяется в случае, когда левую часть одного из уравнений системы (6) удается разложить на множители. Пусть, например, Системы линейных уравнений с примерами решения где Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения — многочлены (или функции, которые определены на одном и том же множестве).

Тогда система

Системы линейных уравнений с примерами решения

равносильна совокупности систем

Системы линейных уравнений с примерами решения

и

Системы линейных уравнений с примерами решения

Методы решения систем.

а) При решении систем уравнений часто применяется метод подстановки (метод исключения неизвестного), с помощью которого решение системы с двумя неизвестными сводится к решению уравнения с одним неизвестным. В основе этого метода лежит следующее утверждение.

Система уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

равносильна системе

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

б) Одним из эффективных методов решения систем уравнений является метод замены переменной, который состоит в следующем. Пусть левые части уравнений системы

Системы линейных уравнений с примерами решения

записываются в виде Системы линейных уравнений с примерами решения где Системы линейных уравнений с примерами решенияСистемы линейных уравнений с примерами решенияТогда система примет вид

Системы линейных уравнений с примерами решения

Если Системы линейных уравнений с примерами решения—все решения этой системы, Системы линейных уравнений с примерами решения то, решив Системы линейных уравнений с примерами решения систем уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения

и объединив эти решения, найдем все решения исходной систе-

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Предполагая, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в каждом уравнении системы (11) отличен от нуля, будем решать эту систему способом алгебраического сложения. Уравняем коэффициенты при Системы линейных уравнений с примерами решения в обоих уравнениях системы, умножив обе части первого уравнения на Системы линейных уравнений с примерами решения, а второго — на Системы линейных уравнений с примерами решения. Получим систему

Системы линейных уравнений с примерами решения

Вычитая почленно из первого уравнения этой системы второе уравнение, имеем

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Уравнение (12) не содержит Системы линейных уравнений с примерами решения. Чтобы получить уравнение, не содержащее Системы линейных уравнений с примерами решения, умножим обе части первого уравнения системы (11) на Системы линейных уравнений с примерами решения, а второго — на Системы линейных уравнений с примерами решения. Получим систему

Системы линейных уравнений с примерами решения

Вычитая из второго уравнения этой системы первое, имеем

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Заметим, что коэффициент при Системы линейных уравнений с примерами решения в уравнении (12) равен коэффициенту при Системы линейных уравнений с примерами решения в уравнении (13), и предположим, что этот коэффициент не равен нулю, т. е.

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Тогда из уравнений (12) и (13) получаем

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Если выполняется условие (14), то система (11) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (15). В самом деле, если Системы линейных уравнений с примерами решения— решение системы (11), то каждое из равенств (12), (13), (15) является верным, т. е. решение системы (11) определяется формулами (15). Легко проверить, что если выполняется условие (14), то пара чисел Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, которые определяются формулами (15), удовлетворяет системе (11).

Установим правило, по которому образованы правые части равенств (15). Пусть Системы линейных уравнений с примерами решения — общий знаменатель дробей (15), т.е.

Системы линейных уравнений с примерами решения

Число Системы линейных уравнений с примерами решения назовем определителем системы (11) и обозначим его символом

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

а числа Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения , Системы линейных уравнений с примерами решения , Системы линейных уравнений с примерами решения назовем элементами этого определителя. В первом и втором столбцах определителя (16) расположены соответственно коэффициенты при неизвестном Системы линейных уравнений с примерами решения и неизвестном Системы линейных уравнений с примерами решения системы (11). Диагональ, на которой расположены элементы Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения, называют главной, а диагональ, на которой стоят элементы Системы линейных уравнений с примерами решения иСистемы линейных уравнений с примерами решенияопределителя (16), называют побочной.

Из равенства

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения


следует, что определитель Системы линейных уравнений с примерами решения равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Обозначим числители в формулах (15) через Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения. Тогда, пользуясь правилом (17), получаем

Системы линейных уравнений с примерами решения

Следовательно, равенства (15) можно записать так:

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Заметим, что определители Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения можно получить из определителя Системы линейных уравнений с примерами решения заменой столбца из коэффициентов соответственно при Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения системы (11) столбцом свободных членов этой системы.

Определители Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, имеющие две строки и два столбца, называют определителями второго порядка.

Формулы (18), (19) выражают правило Крамера для нахождения решения системы (11) в том случае, когда определитель этой системы Системы линейных уравнений с примерами решения

Заметим, что каждое уравнение системы (11) геометрически представляет прямую на координатной плоскости. Если Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения — решение системы (11), то это означает, что прямые Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения пересекаются в точке с координатами Системы линейных уравнений с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №164.

Решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Так как Системы линейных уравнений с примерами решения то система (20) равносильна совокупности двух систем

Системы линейных уравнений с примерами решения

Решим первую систему. Подставляя Системы линейных уравнений с примерами решения во второе уравнение этой системы, получаем Системы линейных уравнений с примерами решения откуда Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Следовательно, первая система имеет два решения, которые будем записывать так: Системы линейных уравнений с примерами решения Аналогично, решив вторую систему, найдем еще два решения Системы линейных уравнений с примерами решения исходной системы.

Ответ. Системы линейных уравнений с примерами решения

Пример №165.

Решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Так как первое уравнение системы равносильно уравнению Системы линейных уравнений с примерами решения то, заменяя во втором уравнении Системы линейных уравнений с примерами решенияна Системы линейных уравнений с примерами решения получаем уравнение Системы линейных уравнений с примерами решения имеющее корни Системы линейных уравнений с примерами решения Тогда из равенства Системы линейных уравнений с примерами решения находим Системы линейных уравнений с примерами решения

Ответ. Системы линейных уравнений с примерами решения

Пример №166.

Решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Введем новые неизвестные Системы линейных уравнений с примерами решенияТогда система примет вид

Системы линейных уравнений с примерами решения

Эта система равносильна системе

Системы линейных уравнений с примерами решения

имеющей единственное решение Системы линейных уравнений с примерами решения

Следовательно, Системы линейных уравнений с примерами решения

Ответ. Системы линейных уравнений с примерами решения

Пример №167.

Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Здесь

Системы линейных уравнений с примерами решения

По формулам (18), (19) находим Системы линейных уравнений с примерами решения Следовательно, система имеет единственное решение Системы линейных уравнений с примерами решения

Ответ. Системы линейных уравнений с примерами решения

На рис. 15.1 дана геометрическая интерпретация системы из примера 4.

Замечание. Если определитель системы (11) равен нулю, то эта система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Системы линейных уравнений с примерами решения

Так, система

Системы линейных уравнений с примерами решения

не имеет решений. Этой системе соответствует пара параллельных прямых (рис. 15.2), не имеющих общих точек. Система

Системы линейных уравнений с примерами решения

имеет бесконечное множество решений. Этой системе соответствует пара совпадающих прямых (рис. 15.3).

Можно показать, что если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе (11) отличен от нуля, то эта система:

а) не имеет решений, когда ее определитель Системы линейных уравнений с примерами решения, а хотя бы один из определителей Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решенияне равен нулю;

б) имеет бесконечное множество решений при

Системы линейных уравнений с примерами решения

Пример №168.

Найти все пары значений Системы линейных уравнений с примерами решения, Системы линейных уравнений с примерами решения, при каждой из которых система уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения

имеет бесконечное множество решений.

Решение:

Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда оба ее уравнения являются уравнением одной и той же прямой. Умножив обе части первого уравнения на 2 и приравняв коэффициенты при Системы линейных уравнений с примерами решения и Системы линейных уравнений с примерами решения полученного уравнения и второго уравнения исходной системы, имеем

Системы линейных уравнений с примерами решения

или

Системы линейных уравнений с примерами решения

откуда Системы линейных уравнений с примерами решения Решив систему

Системы линейных уравнений с примерами решения

находим два ее решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Ответ.Системы линейных уравнений с примерами решения

Обращаясь к линейным системам с Системы линейных уравнений с примерами решения неизвестными, где Системы линейных уравнений с примерами решения, рассмотрим один из способов решения таких систем.

Пример №169.

Решить систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Умножим первое уравнение системы (21) на Системы линейных уравнений с примерами решения и сложим полученное уравнение со вторым. Затем умножим первое уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решения и сложим полученное уравнение с третьим. Наконец, умножим первое уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решения и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда система (21) примет вид

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Цель этих преобразований состоит в том, чтобы получить систему, которая не содержит неизвестное Системы линейных уравнений с примерами решения во всех уравнениях, кроме первого.

Далее преобразуем последние три уравнения системы (22) так, чтобы третье и четвертое уравнения новой системы не содержали неизвестное Системы линейных уравнений с примерами решения. Для этого умножим второе уравнение системы (22) на Системы линейных уравнений с примерами решения и полученное уравнение сложим с третьим, а затем умножим второе уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решения и полученное уравнение сложим с четвертым. В результате придем к системе

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Умножим третье уравнение системы (23) на Системы линейных уравнений с примерами решения и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда система примет вид

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Из последнего уравнения системы (24) находим Системы линейных уравнений с примерами решения затем из третьего уравнения получаем Системы линейных уравнений с примерами решения из второго имеем Системы линейных уравнений с примерами решения и, наконец, из первого находим Системы линейных уравнений с примерами решения Итак, система (24) имеет следующее решение: Системы линейных уравнений с примерами решения

Заметим, что если одно из уравнений системы (21) заменить уравнением, которое получено почленным сложением этого уравнения и любого другого уравнения, умноженного на некоторое число, а остальные уравнения оставить без изменения, то новая система имеет то же множество решений, что и первоначальная система (равносильна системе (21)). Отсюда следует, что каждая из систем (22), (23), (24) равносильна системе (21).

Таким образом, система (21) имеет единственное решение Системы линейных уравнений с примерами решения

При решении системы (21) она преобразована к треугольному виду (24) методом Гаусса.

Пример №170.

Решить методом Гаусса систему уравнений

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

Решение:

Умножим первое уравнение системы (25) на Системы линейных уравнений с примерами решения и прибавим полученное уравнение ко второму уравнению. Затем умножим первое уравнение на Системы линейных уравнений с примерами решения и прибавим полученное уравнение к третьему. Тогда придем к системе

Системы линейных уравнений с примерами решения Системы линейных уравнений с примерами решения

равносильной системе (25). Система (26) не имеет решений. В самом деле, третье уравнение можно записать так: Системы линейных уравнений с примерами решения С другой стороны, в силу второго уравнения,Системы линейных уравнений с примерами решения

Эти равенства не могут одновременно быть верными. Итак, система (26) несовместна, а поэтому несовместна и система (25).

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения
Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения
Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением
Симметрические системы примеры с решением