Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Степень с рациональным и действительным показателем

а) Степень с рациональным показателем определяется равенством

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

б) Свойства степени с рациональным показателем (р, q — рациональные числа, а > 0, b > 0).

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

в) Степень с действительным иррациональным показателем х и основанием а, где а > 0, определяется как действительное число (обозначается Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением), являющееся пределом последовательности Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением где Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением — последовательность рациональных чисел такая, что Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением При этом для степени с любым действительным показателем справедливы те же свойства, которыми обладает степень с рациональным показателем. Это доказывается в курсе высшей математики.

Пример №19.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Решение:

Обозначим Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением тогда Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решениемСтепень с рациональным и действительным показателем примеры с решениемУмножая числитель и знаменатель полученной дроби на Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением и применяя формулу разности кубов, запишем А в следующем виде:

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Снова применяя формулу разности кубов, получаем

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Ответ: Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Пример №20.

Доказать, что

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Доказательство. Пусть Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решениемСтепень с рациональным и действительным показателем примеры с решением Применяя формулу куба суммы и учитывая, что Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением получаем

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Таким образом, левая часть А рассматриваемого равенства является корнем уравнения

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Это уравнение имеет корень Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решениема его левую часть можно записать в виде Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением Так как уравнение Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением не имеет действительных корней, а левая часть равенства А — действительное число, тоСтепень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Производные пропорции примеры с решением
Действия с корнями (радикалами) примеры с решением
Логарифмы примеры с решением
Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения