Свойства определителей

Свойства определителей

• Определяющее свойство. Установите некоторые свойства ниже. Принадлежит любому определителю порядка n. 1 °) Эквивалентное свойство строки и столбца. Матрица или определитель транспонирования называется В результате операции, какая строка и столбец Поддерживать порядок последовательности.

• В результате транспозиции Получить матрицу А, матрицу под названием транспонировать. Для матрицы A это обозначено символом A ‘. В дальнейшем я согласен с символами \ A \, \ B \, \ A ‘\ … Первое свойство определителя формулируется следующим образом: В то же время сохраняется значение определителя, то есть \ A ‘\ = \ A .

Определитель квадратной матрицы A, B, A ‘… Людмила Фирмаль

Это свойство следует непосредственно из теоремы 1.2 (достаточно Обратите внимание на разложение первого определителя столбца \ A \ Соответствует разложению первого определителя \ A ‘\ Line). Проверенные свойства являются строки и Столбец может быть использован для установки всех последующих свойств Линия обеспечивает их справедливость, Колонна.

2 °) Антисимметрия в перестановке 2 строки (или 2 столбца). При организации места 2-рядная (или 2-столбцовая) mi, удерживаемая определителем Хотя это абсолютное значение, знак меняется на противоположный. Для квадратичных определителей это свойство проверяется Основной (из правила А.10) Только символ отличается).

Предполагая, что n> 2, рассмотрим определитель n-го порядка. А.11) И с этим определителем 2 Строки с номерами я \ и я ^. Запишите формулу разложения Лапласа Вдоль этих двух линий, D = ^ {-1U1 + b + * 1 + bm} 1% U%. П.35) Л 32 При обмене строками с номерами i \ и r2 соответственно Вторичный литель ^] \\, знак меняется И наоборот, все остальные величины ниже знака A.35 всего), не зависит от элемента номера строки i \ и% 2 и сохранить его значение.

Таким образом, свойство 2 °) доказано. 3 °) Линейная характеристика определителя. Say Строка (ai, a2, …, an) является линейной комбинацией Линия (b, b2, •• -, K), (ci, c2, …, cn), …, (di, d2j …, dn) с коэффициентами С элементами Λ, µ, …, y, для всех j ^ = A6j + fiCj + … = 1,2, …, с.

Линейная характеристика определителя может быть сформулирована как n-й определитель, n-й ряд (a, a, …, din) 2 строки (& i, b2, …, bn) и (ci, C2? •• -5 cn) A = AAi + A ^ A2 с использованием коэффициентов A и μ. где \ Определитель, i-я строка которого (pi, 62, …, bn), все Остальные строки такие же, как A, а L2 является определителем H-я строка равна (ci, C2, …, cn), а все остальные строки одинаковы.

Как Для доказательства раскройте каждый из трех определителей А, Ai и A2 вдоль i-й линии Младший Mj элемента i-й строки одинаков. Но это следует за этим Выражение A = AAi + / iA2 непосредственно следует за уравнением aij-Xbj +. + fJLCj (j = 1,2, …, П). Конечно, линейные свойства также полезны, когда: Линия — это линейная комбинация нескольких линий вместо двух.

Кроме того, линейные свойства также действительны для столбцов. Тело. Три проверенных свойства Littel раскрывает свои свойства. Следующие пять свойств — это три логических результата. Основные свойства. Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или Колонка) равна нулю.

• На самом деле, когда переставляем два одинаковых ряда, С другой стороны, определитель А не изменяется, Свойство 2 °) Поменяйте знак на противоположный. Следовательно, А = = -А, то есть 2А = 0 или А = 0. Результат 2. Умножить все элементы в строке (Или какой-то столбец) определителя числа А Умножьте определитель на это число A.

Другими словами, общий фактор для некоторых элементов Вы можете получить определитель строки (или столбца) Подпись для этого идентификатора. (Это свойство продолжается от свойства 3 °) Результат 3. Если второй столбец определителя равен нулю, сам определитель Равно нулю (Это свойство следует за предыдущим свойством, когда Λ = 0.)

Все элементы (или некоторые элементы) подряд. Людмила Фирмаль

Результат 4. 2 ряда (или 2 столбца) элемента Определитель пропорционален, а определитель равен нулю. ( Фактически в системе 2 коэффициент пропорциональности равен Но не подписать идентификатор, а затем идентификатор остается Две одинаковые линии, которые равны нулю в соответствии со след 1).

Результат 5. Элемент строки (или Столбец) определитель, добавлен соответствующий элемент Вы — другая строка (другой столбец), умноженная на любую строку Для коэффициента A значение определителя не изменяется. На самом деле это дополнительный результат Определитель можно разделить на сумму двух определителей благодаря свойству 3 °.

Раздел, первый соответствует исходному, второй Ноль, пропорциональное отношение двух строк (или столбцов) и Действие 4. Замечания. Как и система 5, результат 5 принимает Более общее представление линии: Добавлять ли элемент в определенную строку определителя Соответствующие элементы строки линейной комбинации Несколько других строк этого определителя (с коэффициентами) Коэффициент), а затем значение определителя не изменяется.

Результат 5 широко используется в конкретных расчетах. Определитель (соответствующие примеры описаны ниже Статья). Введите, прежде чем сформулировать другое свойство определителя Полезные понятия алгебраических дополнений заданных элементов Определение коэффициента.

Алгебраическое дополнение заданного элемента a ^ в определителе n-порядок A.11) Позвоните по номеру, равному (-1) * + JMJ- Символ Аидж. Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента Может отличаться только от второстепенного элемента. Используя понятие алгебраического дополнения теоремы 1.1, 1.2 можно переформулировать следующим образом:

Сумма произведений элементов Любая строка (любой столбец) в соответствующем определителе Алгебраическое дополнение этой строки (этого столбца) равно детерминанты мю. выражение, соответствующее разложению определителя rth Столбцы ke и jth можно переписать следующим образом: N A = ^ ctijAij (любой r = 1,2, …, n), A.137) A = 2_ ^ aijAij (если j = 1, 2, …, n). А-21 ‘) г = 1

Теперь вы можете сформулировать и определить последнее свойство Тело: 4 °) Соседство алгебраической характеристики дополнения Строка (или столбец). Сумма произведений элементов Определитель строки (или любой столбец) Алгебраическое дополнение других компонентов Ки (в другом столбце) равно нулю. Доказательство выполняется по строкам (это выполняется по столбцам) Как хорошо).

Подробно опишите формулу А.13 » Н2П Алгебра есть Aj, A ^, …, A {n n-я строка ac, a ^, • .., <^ n элементов и не зависит от уравнения A.36 Является ли тождество aj, a ^, …, & rn, Замените числа a, a, …, cn другими n числами. обмен а> и, ai2, •••? соответствующий элемент a> (( г) К-й ряд а ^ 1, ак2, •••? «Идите налево на B5 A.36» Литерал с двумя одинаковыми строками, равными нулю: Раздел 1. Следовательно, Ацак1 + Ай2ак2 + … + Айнакн = 0 (Если r и k не совпадают)

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Выражение определителя непосредственно через его элементы	Примеры вычисления определителей
Теорема Лапласа	Определитель суммы и произведения матриц