Оглавление:
Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (), равна соответствующему определенному интегралу:
или
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29458.png)
Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями ,
,
,
(см. рис. 173). Для нахождения площади
этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное и будем считать, что
.
2. Дадим аргументу приращение
. Функция
получит приращение
, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади есть главная часть приращения
при
, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием
и высотой
.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до
, получаем
.
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси , то ее площадь может быть найдена по формуле
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29507.png)
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29505.png)
Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в одну:
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29508.png)
Площадь фигуры, ограниченной кривыми и
, прямыми
и
(при условии
) (см. рис. 174), можно найти по формуле
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29517.png)
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29519.png)
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми и
, осью
и непрерывной кривой
(см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле
.
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29540.png)
прямыми и
и осью
, то площадь ее находится по формуле
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29542.png)
где и
определяются из равенств
и
.
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29562.png)
Пример №41.1.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции
при
.
Решение:
Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Находим ее площадь :
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29572.png)
Дополнительный пример №41.2.
Полярные координаты
Найдем площадь криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией
и двумя лучами
и
, где
и
— полярные координаты (см. рис. 179). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла , т. е.
, где
(если
, то
, если
, то
.
2. Если текущий полярный угол получит приращение
, то приращение площади
равно площади «элементарного криволинейного сектора»
.
Дифференциал представляет собой главную часть приращения
при
и равен площади кругового сектора
(на рисунке она заштрихована) радиуса
с центральным углом
. Поэтому
.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до
, получим искомую площадь
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29627.png)
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29631.png)
Пример №41.3.
Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» (см. рис. 180).
Решение:
Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. часть всей площади фигуры:
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29639.png)
т. е. . Следовательно,
.
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29653.png)
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 181, имеем:
![Вычисление площадей плоских фигур](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29656.png)
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Интеграл от разрывной функции |
Схемы применения определенного интеграла |
Вычисление длины дуги плоской кривой |
Вычисление объема тела |