Оглавление:
Вычисления определенного интеграла
Формула ньютона-лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29032.png)
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции для подынтегральной функции
.
Например, .
При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка
.
Теорема 39.1. Если:
1) функция и ее производная
непрерывны при
;
2) множеством значений функции при
является отрезок
;
3) и
, то
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29058.png)
Пусть есть первообразная для
на отрезке
. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
. Так как
, то
является первообразной для функции
. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29065.png)
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки применяют подстановку
;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример №39.1.
Вычислить .
Решение:
Положим , тогда
. Если
, то
; если
, то
. Поэтому
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29073.png)
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29074.png)
Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции и
имеют непрерывные производные на отрезке
, то имеет место формула
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29077.png)
На отрезке имеет место равенстве)
. Следовательно, функция
есть первообразная для непрерывной функции
. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29081.png)
Следовательно,
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29082.png)
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример №39.2.
Вычислить .
Решение:
Положим
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29084.png)
Применяя формулу (39.2), получаем
![Вычисления определенного интеграла](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-29085.png)
Дополнительный пример №39.3.
Дополнительная лекция: Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Геометрический и физический смысл определенного интеграла |
Основные свойства определенного интеграла |
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования |
Интеграл от разрывной функции |